Схема модели Максвелла – Вихерта
Модель Обобщенной Максвелл также известная как модель Максвелл-вихертовской (после того, как Джеймс Клерк Максвелл и Е ВИХЕРТО [1] [2] вязкоупругости . В этой модели несколько элементов Максвелла собраны параллельно. При этом учитывается, что релаксация происходит не за один раз, а несколько раз. Из-за наличия молекулярных сегментов разной длины, причем более короткие дают меньший вклад, чем более длинные, существует различное временное распределение. Модель Вихерта показывает это, имея столько элементов Максвелла, сколько необходимо для точного представления распределения. На рисунке справа показана обобщенная модель Вихерта. [3] [4]
Общая типовая форма [ править ] Твердые тела [ править ] Данные элементы с модулями , вязкостью и временами релаксации N + 1 {\ displaystyle N + 1} E я {\ displaystyle E_ {i}} η я {\ displaystyle \ eta _ {i}} τ я знак равно η я E я {\ displaystyle \ tau _ {i} = {\ frac {\ eta _ {i}} {E_ {i}}}}
Общая форма модели для твердых тел дается [ ссылка :
Общая твердотельная модель Максвелла (
1 )
σ + {\ displaystyle \ sigma +} ∑ п знак равно 1 N ( ∑ я 1 знак равно 1 N - п + 1 . . . ( ∑ я а знак равно я а - 1 + 1 N - ( п - а ) + 1 . . . ( ∑ я п знак равно я п - 1 + 1 N ( ∏ j ∈ { я 1 , . . . , я п } τ j ) ) . . . ) . . . ) ∂ п σ ∂ т п {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{j}}}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n}}}}}
= {\displaystyle =}
E 0 ϵ + {\displaystyle E_{0}\epsilon +} ∑ n = 1 N ( ∑ i 1 = 1 N − n + 1 . . . ( ∑ i a = i a − 1 + 1 N − ( n − a ) + 1 . . . ( ∑ i n = i n − 1 + 1 N ( ( E 0 + ∑ j ∈ { i 1 , . . . , i n } E j ) ( ∏ k ∈ { i 1 , . . . , i n } τ k ) ) ) . . . ) . . . ) ∂ n ϵ ∂ t n {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\left({E_{0}+\sum _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}}}\right)}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t}^{n}}}}}
Это легче понять, если показать модель в несколько более развернутом виде:
Общая твердотельная модель Максвелла (
2 )
σ + {\displaystyle \sigma +} ( ∑ i = 1 N τ i ) ∂ σ ∂ t + {\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right)}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}+} ( ∑ i = 1 N − 1 ( ∑ j = i + 1 N τ i τ j ) ) ∂ 2 σ ∂ t 2 {\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N-1}{\left({\sum _{j=i+1}^{N}{\tau _{i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\sigma }}{\partial {t}^{2}}}} + . . . + {\displaystyle +...+}
( ∑ i 1 = 1 N − n + 1 . . . ( ∑ i a = i a − 1 + 1 N − ( n − a ) + 1 . . . ( ∑ i n = i n − 1 + 1 N ( ∏ j ∈ { i 1 , . . . , i n } τ j ) ) . . . ) . . . ) ∂ n σ ∂ t n {\displaystyle \left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{j}}}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n}}}} + . . . + {\displaystyle +...+} ( ∏ i = 1 N τ i ) ∂ N σ ∂ t N {\displaystyle \left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right){\frac {\partial ^{N}{\sigma }}{\partial {t}^{N}}}}
= {\displaystyle =}
E 0 ϵ + {\displaystyle E_{0}\epsilon +} ( ∑ i = 1 N ( E 0 + E i ) τ i ) ∂ ϵ ∂ t + {\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N}{\left({E_{0}+E_{i}}\right)\tau _{i}}}\right)}{\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}+} ( ∑ i = 1 N − 1 ( ∑ j = i + 1 N ( E 0 + E i + E j ) τ i τ j ) ) ∂ 2 ϵ ∂ t 2 {\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N-1}{\left({\sum _{j=i+1}^{N}{\left({E_{0}+E_{i}+E_{j}}\right)\tau _{i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\epsilon }}{\partial {t}^{2}}}} + . . . + {\displaystyle +...+}
( ∑ i 1 = 1 N − n + 1 . . . ( ∑ i a = i a − 1 + 1 N − ( n − a ) + 1 . . . ( ∑ i n = i n − 1 + 1 N ( ( E 0 + ∑ j ∈ { i 1 , . . . , i n } E j ) ( ∏ k ∈ { i 1 , . . . , i n } τ k ) ) ) . . . ) . . . ) ∂ n ϵ ∂ t n {\displaystyle \left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\left({E_{0}+\sum _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}}}\right)}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t}^{n}}}} + . . . + {\displaystyle +...+} ( E 0 + ∑ j = 1 N E j ) ( ∏ i = 1 N τ i ) ∂ N ϵ ∂ t N {\displaystyle \left({E_{0}+\sum _{j=1}^{N}E_{j}}\right)\left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right){\frac {\partial ^{N}{\epsilon }}{\partial {t}^{N}}}}
Следуя приведенной выше модели с элементами, получается стандартная линейная твердотельная модель : N + 1 = 2 {\displaystyle N+1=2}
Стандартная линейная твердотельная модель (
3 )
σ + τ 1 ∂ σ ∂ t = E 0 ϵ + τ 1 ( E 0 + E 1 ) ∂ ϵ ∂ t {\displaystyle \sigma +\tau _{1}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}=E_{0}\epsilon +\tau _{1}\left({E_{0}+E_{1}}\right){\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}}
Данные элементы с модулями , вязкостью и временами релаксации N + 1 {\displaystyle N+1} E i {\displaystyle E_{i}} η i {\displaystyle \eta _{i}} τ i = η i E i {\displaystyle \tau _{i}={\frac {\eta _{i}}{E_{i}}}}
Общий вид модели для жидкостей имеет следующий вид:
Общая модель жидкости Максвелла (
4 )
σ + {\displaystyle \sigma +} ∑ n = 1 N ( ∑ i 1 = 1 N − n + 1 . . . ( ∑ i a = i a − 1 + 1 N − ( n − a ) + 1 . . . ( ∑ i n = i n − 1 + 1 N ( ∏ j ∈ { i 1 , . . . , i n } τ j ) ) . . . ) . . . ) ∂ n σ ∂ t n {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{j}}}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n}}}}}
= {\displaystyle =}
∑ n = 1 N ( η 0 + ∑ i 1 = 1 N − n + 1 . . . ( ∑ i a = i a − 1 + 1 N − ( n − a ) + 1 . . . ( ∑ i n = i n − 1 + 1 N ( ( ∑ j ∈ { i 1 , . . . , i n } E j ) ( ∏ k ∈ { i 1 , . . . , i n } τ k ) ) ) . . . ) . . . ) ∂ n ϵ ∂ t n {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}{\left({\eta _{0}+\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\left({\sum _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}}}\right)}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t}^{n}}}}}
Это легче понять, если показать модель в несколько более развернутом виде:
Общая модель жидкости Максвелла (
5 )
σ + {\displaystyle \sigma +} ( ∑ i = 1 N τ i ) ∂ σ ∂ t + {\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right)}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}+} ( ∑ i = 1 N − 1 ( ∑ j = i + 1 N τ i τ j ) ) ∂ 2 σ ∂ t 2 {\displaystyle {\left({\sum _{i=1}^{N-1}{\left({\sum _{j=i+1}^{N}{\tau _{i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\sigma }}{\partial {t}^{2}}}} + . . . + {\displaystyle +...+}
( ∑ i 1 = 1 N − n + 1 . . . ( ∑ i a = i a − 1 + 1 N − ( n − a ) + 1 . . . ( ∑ i n = i n − 1 + 1 N ( ∏ j ∈ { i 1 , . . . , i n } τ j ) ) . . . ) . . . ) ∂ n σ ∂ t n {\displaystyle \left({\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\prod _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{j}}}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\sigma }}{\partial {t}^{n}}}} + . . . + {\displaystyle +...+} ( ∏ i = 1 N τ i ) ∂ N σ ∂ t N {\displaystyle \left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right){\frac {\partial ^{N}{\sigma }}{\partial {t}^{N}}}}
= {\displaystyle =}
( η 0 + ∑ i = 1 N E i τ i ) ∂ ϵ ∂ t + {\displaystyle {\left({\eta _{0}+\sum _{i=1}^{N}{E_{i}\tau _{i}}}\right)}{\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}+} ( η 0 + ∑ i = 1 N − 1 ( ∑ j = i + 1 N ( E i + E j ) τ i τ j ) ) ∂ 2 ϵ ∂ t 2 {\displaystyle {\left({\eta _{0}+\sum _{i=1}^{N-1}{\left({\sum _{j=i+1}^{N}{\left({E_{i}+E_{j}}\right)\tau _{i}\tau _{j}}}\right)}}\right)}{\frac {\partial ^{2}{\epsilon }}{\partial {t}^{2}}}} + . . . + {\displaystyle +...+}
( η 0 + ∑ i 1 = 1 N − n + 1 . . . ( ∑ i a = i a − 1 + 1 N − ( n − a ) + 1 . . . ( ∑ i n = i n − 1 + 1 N ( ( ∑ j ∈ { i 1 , . . . , i n } E j ) ( ∏ k ∈ { i 1 , . . . , i n } τ k ) ) ) . . . ) . . . ) ∂ n ϵ ∂ t n {\displaystyle \left({\eta _{0}+\sum _{i_{1}=1}^{N-n+1}{...\left({\sum _{i_{a}=i_{a-1}+1}^{N-\left({n-a}\right)+1}{...\left({\sum _{i_{n}=i_{n-1}+1}^{N}{\left({\left({\sum _{j\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{E_{j}}}\right)\left({\prod _{k\in \left\{{i_{1},...,i_{n}}\right\}}{\tau _{k}}}\right)}\right)}}\right)...}}\right)...}}\right){\frac {\partial ^{n}{\epsilon }}{\partial {t}^{n}}}} + . . . + {\displaystyle +...+} ( η 0 + ( ∑ j = 1 N E j ) ( ∏ i = 1 N τ i ) ) ∂ N ϵ ∂ t N {\displaystyle \left({\eta _{0}+\left({\sum _{j=1}^{N}E_{j}}\right)\left({\prod _{i=1}^{N}{\tau _{i}}}\right)}\right){\frac {\partial ^{N}{\epsilon }}{\partial {t}^{N}}}}
Пример: трехпараметрическая жидкость [ править ] Модель, аналогичная стандартной линейной твердотельной модели, представляет собой трехпараметрическую жидкость, также известную как модель Джеффриса: [5]
Трехпараметрическая модель жидкости Максвелла (
6 )
σ + τ 1 ∂ σ ∂ t = ( η 0 + τ 1 E 1 ) ∂ ϵ ∂ t {\displaystyle \sigma +\tau _{1}{\frac {\partial {\sigma }}{\partial {t}}}=\left({\eta _{0}+\tau _{1}E_{1}}\right){\frac {\partial {\epsilon }}{\partial {t}}}}
^ Wiechert, E (1889); "Ueber elastische Nachwirkung", диссертация, Кенигсбергский университет, Германия ^ Wiechert, E (1893); "Gesetze der elastischen Nachwirkung für constante Temperatur", Annalen der Physik, Vol. 286, вып.10, с. 335–348 и выпуск 11, с. 546–570 ^ Ройланс, Дэвид (2001); «Инженерная вязкоупругость», 14-15 ^ Tschoegl, Николас В. (1989); "Феноменологическая теория линейного вязкоупругого поведения", 119-126 ^ Gutierrez-Lemini, Дантон (2013). Инженерная вязкоупругость ISBN 9781461481393 
