Материал Максвелла

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Материал Максвелла»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Максвелл материал представляет собой вязкоупругий материал , имеющий свойство как эластичность и вязкости . ^[1] Он назван в честь Джеймса Клерка Максвелла, который предложил модель в 1867 году. Он также известен как жидкость Максвелла.

Определение [ править ]

Модель Максвелла может быть представлена ​​чисто вязким демпфером и чисто упругой пружиной, соединенными последовательно ^[2], как показано на диаграмме. В этой конфигурации под приложенным осевым напряжением полное напряжение и полная деформация могут быть определены следующим образом: ^[1]${\ displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {Total}}}$${\ displaystyle \ varepsilon _ {\ mathrm {Total}}}$

${\ Displaystyle \ sigma _ {\ mathrm {Total}} = \ sigma _ {D} = \ sigma _ {S}}$

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {Total} }=\varepsilon _{D}+\varepsilon _{S}}$

где индекс D указывает напряжение-деформацию в амортизаторе, а индекс S указывает напряжение-деформацию в пружине. Взяв производную деформации по времени, получим:

${\displaystyle {\frac {d\varepsilon _{\mathrm {Total} }}{dt}}={\frac {d\varepsilon _{D}}{dt}}+{\frac {d\varepsilon _{S}}{dt}}={\frac {\sigma }{\eta }}+{\frac {1}{E}}{\frac {d\sigma }{dt}}}$

где E - модуль упругости, а η - коэффициент вязкости материала. Эта модель описывает демпфер как ньютоновскую жидкость и моделирует пружину по закону Гука .

Если вместо этого мы соединим эти два элемента параллельно, ^[2] мы получим обобщенную модель материала Кельвина – Фойгта .

В материале Максвелла напряжение σ, деформация ε и скорость их изменения во времени t регулируются уравнениями вида: ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{E}}{\frac {d\sigma }{dt}}+{\frac {\sigma }{\eta }}={\frac {d\varepsilon }{dt}}}$

или в точечной нотации:

${\displaystyle {\frac {\dot {\sigma }}{E}}+{\frac {\sigma }{\eta }}={\dot {\varepsilon }}}$

Уравнение может применяться либо к напряжению сдвига, либо к равномерному натяжению материала. В первом случае вязкость соответствует вязкости ньютоновской жидкости . В последнем случае он имеет несколько иное значение, касающееся напряжения и скорости деформации.

Модель обычно применяется в случае небольших деформаций. Для больших деформаций необходимо учитывать геометрическую нелинейность. Для простейшего способа обобщения модели Максвелла обратитесь к модели Максвелла с конвекцией сверху .

Эффект внезапной деформации [ править ]

Если материал Максвелла внезапно деформируются и удерживается в штамм из , то напряжений распадов на характеристику масштаба времени , известное как время релаксации . Это явление известно как снятие напряжения .${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle {\frac {\eta }{E}}}$

На рисунке показана зависимость безразмерного напряжения от безразмерного времени :${\displaystyle {\frac {\sigma (t)}{E\varepsilon _{0}}}}$${\displaystyle {\frac {E}{\eta }}t}$

Зависимость безразмерного напряжения от безразмерного времени при постоянной деформации

Если мы освободим материал вовремя , то упругий элемент отскочит назад на величину${\displaystyle t_{1}}$

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {back} }=-{\frac {\sigma (t_{1})}{E}}=\varepsilon _{0}\exp \left(-{\frac {E}{\eta }}t_{1}\right).}$

Поскольку вязкий элемент не вернется к своей исходной длине, необратимый компонент деформации можно упростить до следующего выражения:

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {irreversible} }=\varepsilon _{0}\left(1-\exp \left(-{\frac {E}{\eta }}t_{1}\right)\right).}$

Эффект внезапного стресса [ править ]

Если материал Максвелла внезапно подвергнется напряжению , то упругий элемент внезапно деформируется, а вязкий элемент будет деформироваться с постоянной скоростью:${\displaystyle \sigma _{0}}$

${\displaystyle \varepsilon (t)={\frac {\sigma _{0}}{E}}+t{\frac {\sigma _{0}}{\eta }}}$

Если в какой-то момент мы освободим материал, то деформация упругого элемента будет деформацией упругого возврата, и деформация вязкого элемента не изменится:${\displaystyle t_{1}}$

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {reversible} }={\frac {\sigma _{0}}{E}},}$

${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {irreversible} }=t_{1}{\frac {\sigma _{0}}{\eta }}.}$

Модель Максвелла не демонстрирует ползучесть, поскольку она моделирует деформацию как линейную функцию времени.

Если небольшое напряжение прикладывается в течение достаточно длительного времени, необратимые деформации становятся большими. Таким образом, материал Максвелла - это разновидность жидкости.

Эффект постоянной скорости деформации [ править ]

Если материал Максвелла подвергается постоянной скорости деформации, то напряжение увеличивается, достигая постоянного значения ${\displaystyle {\dot {\epsilon }}}$

${\displaystyle \sigma =\eta {\dot {\epsilon }}}$

В общем

${\displaystyle \sigma (t)=\eta {\dot {\epsilon }}(1-e^{-Et/\eta })}$

Динамический модуль [ править ]

Комплексный динамический модуль материала Максвелла будет:

${\displaystyle E^{*}(\omega )={\frac {1}{1/E-i/(\omega \eta )}}={\frac {E\eta ^{2}\omega ^{2}+i\omega E^{2}\eta }{\eta ^{2}\omega ^{2}+E^{2}}}}$

Таким образом, составляющими динамического модуля являются:

${\displaystyle E_{1}(\omega )={\frac {E\eta ^{2}\omega ^{2}}{\eta ^{2}\omega ^{2}+E^{2}}}={\frac {(\eta /E)^{2}\omega ^{2}}{(\eta /E)^{2}\omega ^{2}+1}}E={\frac {\tau ^{2}\omega ^{2}}{\tau ^{2}\omega ^{2}+1}}E}$

а также

${\displaystyle E_{2}(\omega )={\frac {\omega E^{2}\eta }{\eta ^{2}\omega ^{2}+E^{2}}}={\frac {(\eta /E)\omega }{(\eta /E)^{2}\omega ^{2}+1}}E={\frac {\tau \omega }{\tau ^{2}\omega ^{2}+1}}E}$

На рисунке показан релаксационный спектр материала Максвелла. Постоянная времени релаксации составляет .${\displaystyle \tau \equiv \eta /E}$

Синяя кривая	безразмерный модуль упругости ${\displaystyle {\frac {E_{1}}{E}}}$
Розовая кривая	безразмерный модуль потерь ${\displaystyle {\frac {E_{2}}{E}}}$
Желтая кривая	безразмерная кажущаяся вязкость ${\displaystyle {\frac {E_{2}}{\omega \eta }}}$
Ось X	безразмерная частота .${\displaystyle \omega \tau }$

См. Также [ править ]

• Материал бургеров
• Обобщенная модель Максвелла
• Материал Кельвина – Фойгта
• Модель Олдройд-Б
• Стандартная линейная твердотельная модель
• Верхнеконвективная модель Максвелла

Ссылки [ править ]