Сгенерированный регрессор

Эта статья может быть слишком технической для понимания большинством читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технических деталей. ( Январь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В задачах оценки методом наименьших квадратов иногда один или несколько регрессоров, указанных в модели, не наблюдаются. Один из способов обойти эту проблему - оценить или сгенерировать регрессоры на основе наблюдаемых данных. ^[1] Этот метод сгенерированного регрессора также применим к ненаблюдаемым инструментальным переменным . При некоторых условиях регулярности непротиворечивость и асимптотическая нормальность оценки наименьших квадратов сохраняется, но асимптотическая дисперсия в целом имеет другой вид.

Предположим, интересующая вас модель следующая:

${\ displaystyle y_ {i} = g (x_ {1i}, x_ {2i}, \ beta) + u_ {i}}$

где g - функция условного среднего и ее вид известен с точностью до конечномерного параметра β. Здесь не наблюдается, но мы знаем, что для некоторой функции h известно с точностью до параметра , и доступна случайная выборка . Предположим , что мы имеем состоятельную оценку от того, что использует наблюдение «с. Затем β можно оценить с помощью (нелинейного) метода наименьших квадратов, используя . Некоторые примеры вышеупомянутой установки включают Anderson et al. (1976 ^[2] и Барро (1977). ^[3]${\ displaystyle x_ {2i}}$${\ displaystyle x_ {2i} = час (w_ {i}, \ gamma)}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle y_ {i} = g (x_ {1i}, x_ {2i}, \ beta) + u_ {i}}$${\ displaystyle {\ hat {\ gamma}}}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle w_ {i}}$${\ displaystyle {\ hat {x_ {2i}}} = h (w_ {i}, {\ hat {\ gamma}})}$

Эта проблема попадает в рамки двухэтапной M-оценки, и, таким образом, непротиворечивость и асимптотическая нормальность оценки может быть проверена с помощью общей теории двухшаговой M-оценки. ^[4] Как и в общей задаче двухэтапной M-оценки, асимптотическая дисперсия сгенерированной оценки регрессора обычно отличается от дисперсии оценки со всеми наблюдаемыми регрессорами. Тем не менее, в некоторых частных случаях асимптотические дисперсии двух оценок идентичны. В качестве одного из таких примеров рассмотрим настройку, в которой функция регрессии является линейной по параметру, а ненаблюдаемый регрессор является скаляром. Обозначение коэффициента ненаблюдаемого регрессора if и затем асимптотическая дисперсия не зависит от того, наблюдается ли регрессор.${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ delta = 0}$${\displaystyle E[\triangledown \gamma h(W,\gamma )U]=0}$^[4]

С небольшими изменениями в модели приведенная выше формулировка также применима к оценке инструментальных переменных. Предположим, интересующая модель линейна по параметрам. Член ошибки коррелирует с некоторыми из регрессоров, и модель определяет некоторые инструментальные переменные, которые не наблюдаются, но имеют представление . Если состоятельная оценка из доступна с использованием в качестве инструментов, параметр интереса может быть оценен IV. Как и в предыдущем случае, согласованность и асимптотическая нормальность следует при мягких условиях, а асимптотическая дисперсия имеет другую форму, чем наблюдаемый случай IV. Тем не менее, есть случаи, когда две оценки имеют одинаковую асимптотическую дисперсию. Один такой случай возникает, если${\displaystyle z_{i}=h(w_{i},\gamma )}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle {\hat {\gamma }}}$${\displaystyle {\hat {z}}_{i}=h(w_{i},{\hat {\gamma }})}$${\displaystyle E[\triangledown \gamma h(W,\gamma )]=0[4]}$В этом частном случае заключение по оцениваемому параметру может быть выполнено с помощью обычного средства оценки стандартной ошибки IV.

Ссылки [ править ]