Двухэтапные M-оценки имеют дело с проблемами M-оценки, которые требуют предварительной оценки для получения интересующего параметра. Двухэтапная M-оценка отличается от обычной задачи M-оценки, потому что асимптотическое распределение оценки второго шага обычно зависит от оценки первого шага. Учет этого изменения в асимптотическом распределении важен для правильного вывода.
Описание
Класс двухэтапных M-оценок включает выборочную оценку Хекмана , [1] взвешенный нелинейный метод наименьших квадратов и обычный метод наименьших квадратов с генерируемыми регрессорами . [2]
Чтобы исправить идеи, позвольте быть образцом идентификатора . а также являются подмножествами евклидовых пространств а также , соответственно. Учитывая функцию , двухшаговая M-оценка определяется как:
где является M-оценкой мешающего параметра, который необходимо вычислить на первом этапе.
Согласованность двухэтапных M-оценок можно проверить, проверив условия согласованности для обычных M-оценок, хотя может потребоваться некоторая модификация. На практике важным условием проверки является условие идентификации . [2] Если где - неслучайный вектор, то условием идентификации является то, что имеет уникальный максимайзер по .
Асимптотическое распределение
В условиях регулярности двухшаговые M-оценки обладают асимптотической нормальностью . Важно отметить, что асимптотическая дисперсия двухэтапной M-оценки обычно не такая же, как у обычной M-оценки, в которой оценка первого шага не требуется. [3] Этот факт интуитивно понятен, потому что является случайным объектом, и его изменчивость должна влиять на оценку . Однако существует особый случай, в котором асимптотическая дисперсия двухэтапной M-оценки принимает форму, как если бы не было процедуры оценки первого шага. Такой частный случай возникает, если:
где истинная ценность а также предел вероятности . [3] Чтобы интерпретировать это условие, сначала отметим, что в условиях регулярности поскольку является максимизатором . Таким образом, приведенное выше условие означает, что малое возмущение γ не влияет на условие первого порядка . Таким образом, в большой выборке изменчивостьне влияет на argmax целевой функции, что объясняет инвариантное свойство асимптотической дисперсии. Конечно, этот результат действителен только тогда, когда размер выборки стремится к бесконечности, поэтому свойство конечной выборки может быть совершенно другим.
Вовлечение MLE
Когда первым шагом является оценка максимального правдоподобия , при некоторых предположениях двухэтапная M-оценка более асимптотически эффективна (т.е. имеет меньшую асимптотическую дисперсию), чем M-оценка с известным параметром первого шага. Непротиворечивость и асимптотическая нормальность оценки следует из общего результата о двухшаговых M-оценках. [4]
Пусть {V i , W i , Z i }п
я = 1 - случайная выборка, а M-оценка второго шага следующее:
где - параметр, оцениваемый по максимальному правдоподобию на первом этапе. Для MLE,
где F представляет собой условную плотность V данного Z . Теперь предположим , что при Z , V условно зависит от W . Это предположение называется условным предположением независимости или выбором наблюдаемых. [4] [5] Наглядно, это условие означает , что Z является хорошим предсказателем V таким образом , что один раз в зависимость от Z, V не имеет систематическую зависимость от W . В предположении условной независимости асимптотическая дисперсия двухшаговой оценки равна:
где
и ∇ представляет собой частную производную по вектору-строке. В случае, когда γ 0 известен, асимптотическая дисперсия равна
и поэтому, если , двухэтапная M-оценка более эффективна, чем обычная M-оценка. Этот факт предполагает, что даже когда γ 0 известен априори, есть выигрыш в эффективности за счет оценки γ с помощью MLE. Применение этого результата можно найти, например, при оценке лечебного эффекта. [4]
Примеры
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Хекман, Дж. Дж., Общая структура статистических моделей усечения, выборки и ограниченных зависимых переменных и простая оценка для таких моделей, Annals of Economic and Social Measurement, 5,475-492.
- ^ a b Wooldridge, JM, Эконометрический анализ поперечных сечений и панельных данных, MIT Press, Кембридж, Массачусетс.
- ^ a b Ньюи, К. В. и Д. Макфадден, Оценка большой выборки и проверка гипотез, в Р. Энгель и Д. Макфадден, ред., Справочник по эконометрике, том 4, Амстердам: Северная Голландия.
- ^ a b c Вулдридж, JM, Эконометрический анализ поперечных сечений и панельных данных, MIT Press, Кембридж, Массачусетс.
- ^ Хекман, Дж. Дж. И Р. Робб, 1985, Альтернативные методы оценки воздействия интервенций: обзор, Journal of Econometrics, 30, 239-267.