В математике и статистике , асимптотическое распределение является распределением вероятностей , что в некотором смысле «ограничение» распределение последовательности распределений. Одним из основных применений идеи асимптотического распределения является обеспечение приближения к кумулятивным функциям распределения статистических оценок .
Определение [ править ]
Последовательность распределения соответствуют к последовательности из случайных величин Z I для I = 1, 2, ..., я. В простейшем случае асимптотическое распределение существует, если распределение вероятностей Z i сходится к распределению вероятностей (асимптотическому распределению) при увеличении i : см. Сходимость в распределении . Частный случай асимптотического распределения - это когда последовательность случайных величин всегда равна нулю или Z i = 0, когда i стремится к бесконечности. Здесь асимптотическое распределение является вырожденным распределением , соответствующим нулевому значению.
Однако наиболее обычный смысл, в котором используется термин асимптотическое распределение, возникает, когда случайные величины Z i модифицируются двумя последовательностями неслучайных значений. Таким образом, если
сходится по распределению к невырожденному распределению для двух последовательностей { a i } и { b i }, то говорят, что Z i имеет это распределение в качестве своего асимптотического распределения. Если функция распределения асимптотического распределения равна F, то для больших n справедливы следующие приближения
Если существует асимптотическое распределение, не обязательно верно, что любой результат последовательности случайных величин является сходящейся последовательностью чисел. Сходится последовательность вероятностных распределений.
Центральная предельная теорема [ править ]
Возможно, наиболее распространенным распределением, которое возникает как асимптотическое распределение, является нормальное распределение . В частности, центральная предельная теорема дает пример, когда асимптотическое распределение является нормальным распределением .
- Центральная предельная теорема
- Предположим, что { X 1 , X 2 , ...} - последовательность случайных величин iid с E [ X i ] = µ и Var [ X i ] = σ 2 <∞. Пусть S n - среднее значение { X 1 , ..., X n }. Затем, когда n приближается к бесконечности, случайные величины √ n ( S n - µ) сходятся по распределению к нормальному N (0, σ 2 ): [1]
Центральная предельная теорема дает только асимптотическое распределение. В качестве приближения для конечного числа наблюдений оно обеспечивает разумное приближение только тогда, когда оно близко к пику нормального распределения; требуется очень большое количество наблюдений, чтобы простираться до хвоста.
Локальная асимптотическая нормальность [ править ]
Локальная асимптотическая нормальность является обобщением центральной предельной теоремы. Это свойство последовательности статистических моделей , которое позволяет асимптотически аппроксимировать эту последовательность моделью нормального местоположения после изменения масштаба параметра. Важным примером, когда выполняется локальная асимптотическая нормальность, является случай независимой и одинаково распределенной выборки из регулярной параметрической модели ; это просто центральная предельная теорема.
Барндорф-Нильсон и Кокс дают прямое определение асимптотической нормальности. [2]
См. Также [ править ]
- Асимптотический анализ
- Асимптотическая теория (статистика)
- Теорема де Муавра – Лапласа
- Предельная плотность дискретных точек
- Дельта-метод
Ссылки [ править ]
- ^ Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера (Третье изд.). Джон Вили и сыновья . п. 357. ISBN. 0-471-00710-2.
- ^ Барндорф-Нильсен, О.Е . ; Кокс, Д.Р. (1989). Асимптотические методы для использования в статистике . Чепмен и Холл . ISBN 0-412-31400-2.
