В статистике , параметрическая модель или параметрическое семейство или конечномерен модель представляет собой особый класс статистических моделей . В частности, параметрическая модель - это семейство вероятностных распределений с конечным числом параметров.
Определение
Статистическая модель представляет собой совокупность распределений вероятностей на некотором выборочном пространстве . Мы предполагаем , что сбор, 𝒫 , индексируются некоторым множество & thetas . Набор Θ называется набором параметров или, чаще, пространством параметров . Для каждого θ ∈ Θ пусть P θ обозначает соответствующий член набора; поэтому P θ - это кумулятивная функция распределения . Тогда статистическую модель можно записать как
Модель является параметрической, если Θ ⊆ ℝ k для некоторого положительного целого числа k .
Когда модель состоит из абсолютно непрерывных распределений, ее часто задают в терминах соответствующих функций плотности вероятности :
Примеры
- Семейство Пуассона распределений параметризовано одним числом Х > 0 :
- Нормальная семья параметризовано θ = ( μ , σ ) , где ц ∈ ℝ является параметром местоположения и σ > 0 является параметр масштаба:
- Модель трансляции Вейбулла имеет трехмерный параметр θ = ( λ , β , μ ) :
- Биномиальное модель параметризовано θ = ( п , р ) , где п представляет собой неотрицательное целое число , и р представляет собой вероятность (т.е. р ≥ 0 и р ≤ 1 ):
Основные пометки
Параметрическая модель называется идентифицируемой, если отображение θ ↦ P θ обратимо, то есть не существует двух различных значений параметров θ 1 и θ 2, таких что P θ 1 = P θ 2 .
Сравнение с другими классами моделей
Параметрические модели контрастируют с полупараметрическими , полупараметрическими и непараметрическими моделями , каждая из которых состоит из бесконечного набора «параметров» для описания. Различие между этими четырьмя классами заключается в следующем: [ необходима цитата ]
- в « параметрической » модели все параметры находятся в конечномерных пространствах параметров;
- модель считается « непараметрической », если все параметры находятся в бесконечномерных пространствах параметров;
- « полупараметрическая » модель содержит интересующие конечномерные параметры и бесконечномерные мешающие параметры ;
- « полупараметрическая » модель имеет как конечномерные, так и бесконечномерные неизвестные параметры, представляющие интерес.
Некоторые статистики считают, что понятия «параметрический», «непараметрический» и «полупараметрический» неоднозначны. [1] Можно также отметить , что множество всех вероятностных мер имеет мощность в непрерывном , и , следовательно , можно параметризовать любую модель вообще одним числом в (0,1) интервала. [2] Этой трудности можно избежать, рассматривая только «гладкие» параметрические модели.
Смотрите также
Заметки
- ^ Le Cam & Yang 2000 , §7.4
- ^ Bickel et al. 1998 , стр. 2
Библиография
- Бикель, Питер Дж .; Доксум, Кьелл А. (2001), Математическая статистика: основные и избранные темы , Том 1 (второе (обновленное издание 2007 г.) изд.), Prentice-Hall
|volume=
есть дополнительный текст ( справка ) - Бикель, Питер Дж .; Клаассен, Крис А.Дж.; Ритов, Яаков; Веллнер, Джон А. (1998), Эффективное и адаптивное оценивание полупараметрических моделей , Springer
- Дэвисон, AC (2003), Статистические модели , Cambridge University Press
- Ле Кам, Люсьен ; Янг, Грейс Ло (2000), Асимптотика в статистике: некоторые основные концепции , Springer
- Леманн, Эрих Л .; Каселла, Джордж (1998), Теория точечных оценок (2-е изд.), Springer
- Лизе, Фридрих; Миске, Клаус-Дж. (2008), Статистическая теория принятия решений: оценка, тестирование и выбор , Springer
- Пфанцагль, Иоганн; при содействии Р. Хамбёкера (1994), Parametric Statistical Theory , Walter de Gruyter , MR 1291393