В теории вероятностей , особенно в математической статистике , семейство масштабов местоположения - это семейство распределений вероятностей, параметризованных параметром местоположения и неотрицательным параметром масштаба . Для любой случайной величины функция распределения вероятностей которого принадлежит такому семейству, функция распределения тоже принадлежит семье (где означает « равное распределение », т. е. «имеет то же распределение, что и»). Более того, если а также - две случайные величины, функции распределения которых являются членами семейства, и в предположении
- наличие первых двух моментов и
- имеет нулевое среднее и единичную дисперсию,
тогда можно записать как , где а также среднее и стандартное отклонение .
Другими словами, класс распределений вероятностей является семейством масштабов местоположения, если для всех кумулятивных функций распределения и любые реальные числа а также , функция распределения также является членом .
- Если имеет кумулятивную функцию распределения , тогда имеет кумулятивную функцию распределения .
- Если является дискретной случайной величиной с функцией вероятности массовой , тогда дискретная случайная величина с вероятностной функцией масс .
- Если - непрерывная случайная величина с функцией плотности вероятности , тогда - непрерывная случайная величина с функцией плотности вероятности .
В теории принятия решений , если все альтернативные распределения, доступные лицу, принимающему решение, принадлежат одному и тому же семейству масштабов местоположения и первые два момента конечны, тогда может применяться двухмоментная модель решения , и процесс принятия решений может быть сформулирован в терминах из средств и дисперсий распределений. [1] [2] [3]
Примеры
Часто семейства в масштабе местоположения ограничиваются теми, в которых все члены имеют одинаковую функциональную форму. Большинство семей в масштабе местоположения одномерны , но не все. К хорошо известным семействам, в которых функциональная форма распределения одинакова во всем семействе, относятся следующие:
Преобразование отдельного распределения в семейство в масштабе местоположения
Ниже показано, как реализовать семейство масштаба местоположения в статистическом пакете или среде программирования, где доступны только функции для «стандартной» версии дистрибутива. Он разработан для R, но должен распространяться на любой язык и библиотеку.
Пример здесь имеет Стьюдента т -распределения , который , как правило , представленный в R только в стандартной форме, с одиночными степенями свободы параметра df
. Приведенные ниже версии с _ls
добавлением показывают, как обобщить это на обобщенное t-распределение Стьюдента с произвольным параметром местоположения и параметром mu
масштаба sigma
.
Функция плотности вероятности (PDF): | dt_ls(x, df, mu, sigma) = | 1/sigma * dt((x - mu)/sigma, df) |
Кумулятивная функция распределения (CDF): | pt_ls(x, df, mu, sigma) = | pt((x - mu)/sigma, df) |
Квантильная функция (обратный CDF): | qt_ls(prob, df, mu, sigma) = | qt(prob, df)*sigma + mu |
Сгенерируйте случайную вариацию : | rt_ls(df, mu, sigma) = | rt(df)*sigma + mu |
Обратите внимание, что обобщенные функции не имеют стандартного отклонения, sigma
поскольку стандартное t- распределение не имеет стандартного отклонения, равного 1.
Рекомендации
- ^ Мейер, Джек (1987). «Двухмоментные модели принятия решений и максимизация ожидаемой полезности». Американский экономический обзор . 77 (3): 421–430. JSTOR 1804104 .
- ^ Майшар, Дж. (1978). «Заметка о критике Фельдштейном анализа среднего отклонения». Обзор экономических исследований . 45 (1): 197–199. JSTOR 2297094 .
- ^ Sinn, H.-W. (1983). Экономические решения в условиях неопределенности (второе английское изд.). Северная Голландия.