Дискретное равномерное распределение

дискретная униформа

Вероятностная функция масс n = 5, где n = b  -  a  + 1
Кумулятивная функция распределения
Обозначение	${\ Displaystyle {\ mathcal {U}} \ {а, б \}}$ или же ${\ Displaystyle \ mathrm {униф} \ {а, б \}}$
Параметры	${\ displaystyle a, b}$ целые числа с ${\ displaystyle b \ geq a}$ ${\ Displaystyle п = б-а + 1}$
Служба поддержки	${\ Displaystyle к \ в \ {а, а + 1, \ точки, б-1, б \}}$
PMF	${\ displaystyle {\ frac {1} {n}}}$
CDF	${\ displaystyle {\ frac {\ lfloor k \ rfloor -a + 1} {n}}}$
Иметь в виду	${\ displaystyle {\ frac {a + b} {2}}}$
Медиана	${\ displaystyle {\ frac {a + b} {2}}}$
Режим	N / A
Дисперсия	${\ displaystyle {\ frac {n ^ {2} -1} {12}}}$
Асимметрия	${\ displaystyle 0}$
Бывший. эксцесс	${\ displaystyle - {\ frac {6 (n ^ {2} +1)} {5 (n ^ {2} -1)}}}$
Энтропия	${\displaystyle \ln(n)}$
MGF	${\displaystyle {\frac {e^{at}-e^{(b+1)t}}{n(1-e^{t})}}}$
CF	${\displaystyle {\frac {e^{iat}-e^{i(b+1)t}}{n(1-e^{it})}}}$
PGF	${\displaystyle {\frac {z^{a}-z^{b+1}}{n(1-z)}}}$

В теории вероятностей и статистике , то дискретное равномерное распределение является симметричным распределением вероятностей , в котором в равной степени , вероятно, будет наблюдаться конечное число значений; каждое из n значений имеет равную вероятность 1 / n . Другой способ сказать «дискретное равномерное распределение» - это «известное конечное число результатов, которые с равной вероятностью могут произойти».

Простым примером дискретного равномерного распределения является бросок честной кости . Возможные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, и каждый раз, когда бросается игральный кубик, вероятность получения данного результата равна 1/6. Если бросить две кости и сложить их значения, результирующее распределение перестанет быть однородным, потому что не все суммы имеют равную вероятность. Хотя удобно описывать дискретные равномерные распределения по целым числам, такие как это, можно также рассматривать дискретные равномерные распределения по любому конечному множеству . Например, случайная перестановка - это перестановка, равномерно генерируемая из перестановок заданной длины, а равномерное остовное дерево - это остовное дерево. генерируется равномерно из остовных деревьев данного графа.

Само по себе дискретное равномерное распределение по своей сути непараметрическое. Однако удобно представлять его значения в целом всеми целыми числами в интервале [ a , b ], так что a и b становятся основными параметрами распределения (часто просто рассматривают интервал [1, n ] с одним параметр n ). С этими соглашениями кумулятивная функция распределения (CDF) дискретного равномерного распределения может быть выражена для любого k ∈ [ a , b ] как

${\displaystyle F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}}$

Оценка максимума [ править ]

В этом примере описывается говоря , что образец K наблюдений получается из равномерного распределения на целые числа , причем эта проблема в том , чтобы оценить неизвестную максимальную N . Эта проблема широко известна как проблема немецких танков после применения максимальной оценки к оценке производства немецких танков во время Второй мировой войны .${\displaystyle 1,2,\dotsc ,N}$

Оценка равномерно минимальной несмещенной дисперсии (UMVU) для максимума определяется выражением

${\displaystyle {\hat {N}}={\frac {k+1}{k}}m-1=m+{\frac {m}{k}}-1}$

где m - максимум выборки, а k - размер выборки, выборка без замены. ^[1] Это можно рассматривать как очень простой случай оценки максимального интервала .

Это имеет дисперсию ^[1]

${\displaystyle {\frac {1}{k}}{\frac {(N-k)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}{\text{ for small samples }}k\ll N}$

таким образом, стандартное отклонение приблизительно равно среднему размеру (генеральной совокупности) разрыва между выборками; сравните выше.${\displaystyle {\tfrac {N}{k}}}$${\displaystyle {\tfrac {m}{k}}}$

Максимум выборки является оценкой максимального правдоподобия для максимума генеральной совокупности, но, как обсуждалось выше, он является необъективным.

Если образцы не пронумерованы, но их можно распознать или пометить, вместо этого можно оценить размер популяции с помощью метода « захват-повторный отлов» .

Случайная перестановка [ править ]

См. Номера rencontres для учета распределения вероятностей количества фиксированных точек равномерно распределенной случайной перестановки .

Свойства [ править ]

Семейство равномерных распределений по диапазонам целых чисел (с одной или обеими неизвестными границами) имеет конечномерную достаточную статистику , а именно тройку максимума выборки, минимум выборки и размер выборки, но не является экспоненциальным семейством распределений, потому что поддержка изменяется в зависимости от параметров. Для семей, поддержка которых не зависит от параметров, теорема Питмана – Купмана – Дармуа утверждает, что только экспоненциальные семейства имеют достаточную статистику, размерность которой ограничивается по мере увеличения размера выборки. Таким образом, равномерное распределение является простым примером, показывающим предел этой теоремы.

См. Также [ править ]

• Распределение дельты Дирака
• Равномерное распределение (непрерывное)

Ссылки [ править ]