В теории вероятностей , то Муавр-Лаплас теорема , которая является частным случаем центральной предельной теоремы , утверждает , что нормальное распределение может быть использовано в качестве приближения к биномиальному распределению при определенных условиях. В частности, теорема показывает, что функция массы вероятности случайного числа «успехов», наблюдаемых в серии независимые испытания Бернулли , каждое из которых имеет вероятность успеха (биномиальное распределение с испытаний), сходится к функции плотности вероятности нормального распределения со средним и стандартное отклонение , в виде становится большим, предполагая не является или же .
Внутри системы, чьи бункеры заполняются в соответствии с
биномиальным распределением (например
, «
машина для фасоли »
Гальтона , показанная здесь), при достаточном количестве попыток (здесь ряды булавок, каждая из которых заставляет упавший «фасоль» падать в сторону слева или справа), форма, представляющая распределение вероятностей
k успехов в
n испытаниях (см. нижнюю часть рис.7), приблизительно соответствует гауссовскому распределению со средним
np и дисперсией
np (1−
p ), предполагая, что испытания независимы, а успешные происходят с вероятностью
p .
Подумайте о том, чтобы подбрасывать набор из
n монет очень много раз и каждый раз подсчитывать количество выпадающих орлов. Возможное количество голов при каждом броске
k изменяется от 0 до
n по горизонтальной оси, в то время как вертикальная ось представляет относительную частоту появления исхода
k голов. Таким образом, высота каждой точки - это вероятность увидеть
k голов при подбрасывании
n монет (
биномиальное распределение, основанное на
n попытках). Согласно теореме де Муавра – Лапласа, с ростом
n форма дискретного распределения сходится к непрерывной гауссовой кривой
нормального распределения .
Теорема появилась во втором издании Доктрины Возможностей по Муавр , опубликованная в 1738 г. Несмотря на то, Муавр не использовал термин «Бернулли», он писал о распределении вероятностей числа раз «головок» появляется , когда монета подбрасывается 3600 раз. [1]
Это один из выводов конкретной функции Гаусса, используемой в нормальном распределении.
В п растет большим, для к в окрестностях от нп мы можем аппроксимировать [2] [3]
в том смысле, что отношение левой части к правой сходится к 1 при n → ∞.
Доказательство
Теорема может быть сформулирована более строго следующим образом: , с участием биномиально распределенная случайная величина приближается к стандартной норме как , с отношением вероятностной массы с предельной нормальной плотностью, равной 1. Это можно показать для произвольной ненулевой и конечной точки . На немасштабированной кривой для, это было бы точкой дано
Например, с в 3, остается на 3 стандартных отклонения от среднего значения на немасштабированной кривой.
Нормальное распределение со средним и стандартное отклонение определяется дифференциальным уравнением (ДУ)
- с начальным условием, заданным аксиомой вероятности .
Предел биномиального распределения приближается к нормальному, если биномиальное удовлетворяет этому DE. Поскольку бином является дискретным, уравнение начинается как разностное уравнение , предел которого трансформируется в ДУ. В разностных уравнениях используется дискретная производная ,, изменение размера шага 1. Поскольку , дискретная производная становится непрерывной производной . Следовательно, для доказательства нужно только показать, что для немасштабированного биномиального распределения
- в виде .
Нужный результат можно показать прямо:
Последнее справедливо, потому что термин доминирует как в знаменателе, так и в числителе как .
В виде принимает только целые значения, константа возможна ошибка округления. Однако максимум этой ошибки,, - исчезающее значение. [4]
Альтернативное доказательство
Доказательство состоит в преобразовании левой части (в формулировке теоремы) в правую тремя приближениями.
Во-первых, согласно формуле Стирлинга факториал большого числа n можно заменить приближением
Таким образом
Далее приближение используется для сопоставления корня, указанного выше, с желаемым корнем справа.
Наконец, выражение переписывается в виде экспоненты и используется приближение ряда Тейлора для ln (1 + x):
потом
Каждый ""в приведенном выше аргументе есть утверждение, что две величины асимптотически эквивалентны при увеличении n , в том же смысле, что и в исходном утверждении теоремы, т.е. что отношение каждой пары величин приближается к 1 при n → ∞.