Вырожденное распределение

В этой статье не процитировать какие - либо источники . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . Найти источники:  «Вырожденное распространение»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Вырожденный одномерный

Кумулятивная функция распределения CDF для k 0 = 0. Горизонтальная ось - x .
Параметры	${\ Displaystyle к_ {0} \ в (- \ infty, \ infty) \,}$
Поддерживать	${\ Displaystyle х = к_ {0} \,}$
PMF	${\displaystyle {\begin{matrix}1&{\mbox{for }}x=k_{0}\\0&{\mbox{elsewhere}}\end{matrix}}}$
CDF	${\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{for }}x<k_{0}\\1&{\mbox{for }}x\geq k_{0}\end{matrix}}}$
Иметь в виду	${\displaystyle k_{0}\,}$
Медиана	${\displaystyle k_{0}\,}$
Режим	${\displaystyle k_{0}\,}$
Дисперсия	${\displaystyle 0\,}$
Асимметрия	неопределенный
Бывший. эксцесс	неопределенный
Энтропия	${\displaystyle 0\,}$
MGF	${\displaystyle e^{k_{0}t}\,}$
CF	${\displaystyle e^{ik_{0}t}\,}$

В математике , А вырожденное распределение является распределение вероятностей в пространстве ( дискретном или непрерывном ) с поддержкой только на пространстве меньшей размерности . Если вырожденное распределение является одномерным (включающим только одну случайную величину ), это детерминированное распределение и принимает только одно значение. Примеры включают двуглавую монету и катание кубика , на всех сторонах которого указано одно и то же число. Это распределение удовлетворяет определению «случайной величины», даже если оно не кажется случайным.в обыденном смысле слова; следовательно, он считается вырожденным .

В случае случайной величины с действительным знаком вырожденное распределение локализовано в точке k ₀ на вещественной прямой . Функция массы вероятности равна 1 в этой точке и 0 в других местах.

Вырожденное одномерное распределение можно рассматривать как предельный случай непрерывного распределения, дисперсия которого стремится к 0, в результате чего функция плотности вероятности является дельта-функцией при k ₀ с бесконечной высотой, но площадью, равной 1.

Кумулятивная функция распределения в одномерном вырожденном распределении:

${\displaystyle F_{k_{0}}(x)=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{if }}x\geq k_{0}\\0,&{\mbox{if }}x<k_{0}\end{matrix}}\right.}$

Постоянная случайная величина [ править ]

В теории вероятностей , А постоянная случайная величина представляет собой дискретную случайную переменную , которая принимает постоянное значение, независимо от любого события , которое происходит. Технически это отличается от почти всегда постоянной случайной величины , которая может принимать другие значения, но только для событий с нулевой вероятностью. Постоянные и почти наверняка постоянные случайные величины, которые имеют вырожденное распределение, позволяют работать с постоянными значениями в вероятностной структуре.

Пусть   X : Ω → R   - случайная величина, определенная на вероятностном пространстве (Ω, P ). Тогда   X   является почти наверняка постоянной случайной величиной , если существует таких , что${\displaystyle k_{0}\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle \Pr(X=k_{0})=1,}$

и, кроме того, является постоянной случайной величиной, если

${\displaystyle X(\omega )=k_{0},\quad \forall \omega \in \Omega .}$

Обратите внимание, что постоянная случайная величина почти наверняка постоянная, но не обязательно наоборот , поскольку если   X   почти наверняка постоянная, то может существовать γ ∈ Ω такой, что   X (γ) ≠ k ₀   (но тогда обязательно Pr ({γ}) = 0, на самом деле Pr (X ≠ k ₀ ) = 0).

Для практических целей различие между   X   постоянным или почти наверняка постоянным не имеет значения, поскольку кумулятивная функция распределения  F ( x )   X   не зависит от того,   является ли   X постоянным или «просто» почти наверняка постоянным. В любом случае,

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}1,&x\geq k_{0},\\0,&x<k_{0}.\end{cases}}}$

Функция   F ( x ) - ступенчатая ; в частности , это перевод из ступенчатой функции Хевисайда .

Высшие измерения [ править ]

Вырождение многомерного распределения в п случайных величин возникает тогда , когда носитель лежит в пространстве размерности меньше п . Это происходит, когда хотя бы одна из переменных является детерминированной функцией других. Например, в случае двух переменных предположим, что Y = aX + b для скалярных случайных величин X и Y и скалярных констант a ≠ 0 и b ; здесь знание значения одного из X или Y дает точное знание значения другого. Все возможные точки ( x , y ) попадают на одномерную линиюу = ах + Ь .

В общем, когда одна или несколько из n случайных величин точно линейно определяются другими, если ковариационная матрица существует, ее определитель равен 0, поэтому он является положительно полуопределенным, но не положительно определенным, и совместное распределение вероятностей является вырожденным.

Вырождение также может происходить даже при ненулевой ковариации. Например, когда скалярные Й является симметрично распределен относительно 0 и Y точно задаются Y = X ² , все возможные точки ( х , у ) падают на параболе у = х ² , которая представляет собой одномерное подмножество двух- пространственное пространство.