Шоу родился в Биртоне , Бакингемшир , и получил образование в Магдален-холле, Оксфорд , получив степень магистра в 1772 году. Он занялся профессией практикующего врача. В 1786 году он стал ассистентом лектора ботаники в Оксфордском университете . Он был соучредителем Линнеевского общества в 1788 году и стал членом Королевского общества в 1789 году.
В 1791 году Шоу стал помощником хранителя отдела естественной истории в Британском музее , сменив Эдварда Уитакера Грея на посту хранителя в 1806 году. Он обнаружил, что большинство предметов, подаренных музею Гансом Слоаном , были в очень плохом состоянии. Медицинский и анатомический материал был отправлен в музей при Королевском колледже хирургов , но многие чучела животных и птиц испортились, и их пришлось сжечь. Ему наследовал после его смерти его помощник Чарльз Кениг .
Шоу опубликовал одно из первых английских описаний с научными названиями нескольких австралийских животных в своей «Зоологии Новой Голландии » (1794). Он был одним из первых ученых, исследовавших утконоса , и опубликовал первое его научное описание в «Сборнике натуралистов» в 1799 году . [2]