Двухлучевая модель отражения от земли

Двух лучей модели наземного отражения является многолучевой модели распространения радиоволн , которая предсказывает потери пути между передающей антенной и приемной антенной , когда они находятся в прямой видимости (LOS) . Как правило, две антенны имеют разную высоту. Принятый сигнал состоит из двух компонентов: компонента прямой видимости и компонента отражения, сформированного преимущественно одной волной, отраженной от земли.

Схема 2-лучевого отражения от земли, включая переменные для алгоритма распространения 2-лучевого отражения от земли.

Математический вывод ^{[1] [2]} [ править ]

Из рисунка полученная компонента прямой видимости может быть записана как

${\ displaystyle r_ {los} (t) = Re \ left \ {{\ frac {\ lambda {\ sqrt {G_ {los}}}} {4 \ pi}} \ times {\ frac {s (t) e ^ {- j2 \ pi l / \ lambda}} {l}} \ right \}}$

а отраженная от земли составляющая может быть записана как

${\ displaystyle r_ {gr} (t) = Re \ left \ {{\ frac {\ lambda \ Gamma (\ theta) {\ sqrt {G_ {gr}}}} {4 \ pi}} \ times {\ frac {s (t- \ tau) e ^ {- j2 \ pi (x + x ') / \ lambda}} {x + x'}} \ right \}}$

где - передаваемый сигнал, - длина луча прямой видимости (LOS), - длина луча, отраженного от земли, - объединенное усиление антенны на трассе LOS, - объединенное усиление антенны вдоль земли -reflected путь, длина волны передачи ( , где является скорость света , и является частота передачи), является коэффициент отражения и заземления является задержка распространения модели , которая равна . Коэффициент отражения от земли составляет ^[1]${\ displaystyle s (t)}$${\ displaystyle l}$${\ Displaystyle х + х '}$${\ displaystyle G_ {los}}$${\ displaystyle G_ {gr}}$${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda = {\ frac {c} {f}}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ Gamma (\ theta)}$${\ Displaystyle \ тау}$${\ Displaystyle (х + х'-l) / с}$

${\ displaystyle \ Gamma (\ theta) = {\ frac {\ sin \ theta -X} {\ sin \ theta + X}}}$

где или в зависимости от того, имеет ли сигнал горизонтальную или вертикальную поляризацию соответственно. вычисляется следующим образом.${\ displaystyle X = X_ {h}}$${\ displaystyle X = X_ {v}}$${\ displaystyle X}$

${\displaystyle X_{h}={\sqrt {\varepsilon _{g}-{\cos }^{2}\theta }},\ X_{v}={\frac {\sqrt {\varepsilon _{g}-{\cos }^{2}\theta }}{\varepsilon _{g}}}={\frac {X_{h}}{\varepsilon _{g}}}}$

Константа - это относительная диэлектрическая проницаемость земли (или, вообще говоря, материала, от которого отражается сигнал), это угол между землей и отраженным лучом, как показано на рисунке выше.${\displaystyle \varepsilon _{g}}$${\displaystyle \theta }$

Исходя из геометрии фигуры, получаем:

${\displaystyle x+x'={\sqrt {(h_{t}+h_{r})^{2}+d^{2}}}}$

а также

${\displaystyle l={\sqrt {(h_{t}-h_{r})^{2}+d^{2}}}}$,

Следовательно, разница в длине пути между ними равна

${\displaystyle \Delta d=x+x'-l={\sqrt {(h_{t}+h_{r})^{2}+d^{2}}}-{\sqrt {(h_{t}-h_{r})^{2}+d^{2}}}}$

а разность фаз между волнами равна

${\displaystyle \Delta \phi ={\frac {2\pi \Delta d}{\lambda }}}$

Мощность полученного сигнала

${\displaystyle P_{r}=E\{|r_{los}(t)+r_{gr}(t)|^{2}\}}$

где обозначает среднее (по времени) значение.${\displaystyle E\{\cdot \}}$

Приближение [ править ]

Если сигнал является узкополосным относительно обратного разброса задержки , то уравнение мощности можно упростить до${\displaystyle 1/\tau }$${\displaystyle s(t)\approx s(t-\tau )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{r}=E\{|s(t)|^{2}\}\left({\frac {\lambda }{4\pi }}\right)^{2}\times \left|{\frac {{\sqrt {G_{los}}}\times e^{-j2\pi l/\lambda }}{l}}+\Gamma (\theta ){\sqrt {G_{gr}}}{\frac {e^{-j2\pi (x+x')/\lambda }}{x+x'}}\right|^{2}&=P_{t}\left({\frac {\lambda }{4\pi }}\right)^{2}\times \left|{\frac {\sqrt {G_{los}}}{l}}+\Gamma (\theta ){\sqrt {G_{gr}}}{\frac {e^{-j\Delta d}}{x+x'}}\right|^{2}\end{aligned}}}$

где - передаваемая мощность.${\displaystyle P_{t}=E\{|s(t)|^{2}\}}$

Когда расстояние между антеннами очень велико по сравнению с высотой антенны, мы можем расширяться , ${\displaystyle d}$${\displaystyle \Delta d=x+x'-l}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta d=x+x'-l=d{\Bigg (}{\sqrt {{\frac {(h_{t}+h_{r})^{2}}{d^{2}}}+1}}-{\sqrt {{\frac {(h_{t}-h_{r})^{2}}{d^{2}}}+1}}{\Bigg )}\end{aligned}}}$

используя ряд Тейлора из :${\displaystyle {\sqrt {1+x}}}$

${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+\dots ,}$

и взяв только первые два условия,

${\displaystyle x+x'-l\approx {\frac {d}{2}}\times \left({\frac {(h_{t}+h_{r})^{2}}{d^{2}}}-{\frac {(h_{t}-h_{r})^{2}}{d^{2}}}\right)={\frac {2h_{t}h_{r}}{d}}}$

Тогда разность фаз можно аппроксимировать как

${\displaystyle \Delta \phi \approx {\frac {4\pi h_{t}h_{r}}{\lambda d}}}$

Когда большой ,${\displaystyle d}$${\displaystyle d\gg (h_{t}+h_{r})}$

Коэффициент отражения стремится к -1 при больших d.

${\displaystyle {\begin{aligned}d&\approx l\approx x+x',\ \Gamma (\theta )\approx -1,\ G_{los}\approx G_{gr}=G\end{aligned}}}$

и поэтому

${\displaystyle P_{r}\approx P_{t}\left({\frac {\lambda {\sqrt {G}}}{4\pi d}}\right)^{2}\times |1-e^{-j\Delta \phi }|^{2}}$

Расширение с помощью ряда Тейлора${\displaystyle e^{-j\Delta \phi }}$

${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{6}}+\cdots }$

и сохраняя только первые два условия

${\displaystyle e^{-j\Delta \phi }\approx 1+({-j\Delta \phi })+\cdots =1-j\Delta \phi }$

следует, что

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{r}&\approx P_{t}\left({\frac {\lambda {\sqrt {G}}}{4\pi d}}\right)^{2}\times |1-(1-j\Delta \phi )|^{2}\\&=P_{t}\left({\frac {\lambda {\sqrt {G}}}{4\pi d}}\right)^{2}\times \Delta \phi ^{2}\\&=P_{t}\left({\frac {\lambda {\sqrt {G}}}{4\pi d}}\right)^{2}\times \left({\frac {4\pi h_{t}h_{r}}{\lambda d}}\right)^{2}\\&=P_{t}{\frac {Gh_{t}^{2}h_{r}^{2}}{d^{4}}}\end{aligned}}}$

чтобы

${\displaystyle P_{r}\approx P_{t}{\frac {Gh_{t}^{2}h_{r}^{2}}{d^{4}}}}$

что является точным в дальней зоне поля, то есть когда (здесь углы измеряются в радианах, а не в градусах) или, что то же самое,${\displaystyle \Delta \phi \ll 1}$

${\displaystyle d\gg {\frac {4\pi h_{t}h_{r}}{\lambda }}}$

и где комбинированный коэффициент усиления антенны является продуктом передающей и приемной антенны выгоды, . Эта формула была впервые получена Б. А. Введенским. ^[3]${\displaystyle G=G_{t}G_{r}}$

Обратите внимание, что мощность уменьшается как обратная четвертая степень расстояния в дальней зоне, что объясняется деструктивной комбинацией прямого и отраженного путей, которые примерно одинаковы по величине и различаются по фазе на 180 градусов. называется «эффективной изотропной излучаемой мощностью» (EIRP), которая представляет собой мощность передачи, необходимую для получения такой же принимаемой мощности, если бы передающая антенна была изотропной.${\displaystyle G_{t}P_{t}}$

В логарифмических единицах [ править ]

В логарифмических единицах: ${\displaystyle P_{r_{\text{dBm}}}=P_{t_{\text{dBm}}}+10\log _{10}(Gh_{t}^{2}h_{r}^{2})-40\log _{10}(d)}$

Потеря пути: ${\displaystyle PL\;=P_{t_{\text{dBm}}}-P_{r_{\text{dBm}}}\;=40\log _{10}(d)-10\log _{10}(Gh_{t}^{2}h_{r}^{2})}$

Характеристики мощности в зависимости от расстояния [ править ]

График зависимости мощности от расстояния

Когда расстояние между антеннами меньше высоты передающей антенны, две волны добавляются конструктивно, чтобы получить большую мощность. По мере увеличения расстояния эти волны конструктивно и деструктивно складываются, давая области увеличения и уменьшения. По мере того, как расстояние увеличивается за пределы критического расстояния или первой зоны Френеля, мощность падает пропорционально величине, обратной четвертой степени . Приближение к критическому расстоянию можно получить, установив Δφ равным π как критическое расстояние до локального максимума.${\displaystyle d}$${\displaystyle dc}$${\displaystyle d}$

Расширение для антенн большой высоты [ править ]

Приведенные выше приближения действительны при условии , что это может быть не так во многих сценариях, например, когда высота антенны не намного меньше по сравнению с расстоянием, или когда земля не может быть смоделирована как идеальная плоскость. В этом случае нельзя использовать и требуется более точный анализ, см., Например, ^[4]${\displaystyle d\gg (h_{t}+h_{r})}$${\displaystyle \Gamma \approx -1}$

В случае модели потерь на путях прохождения бревна [ править ]

Стандартное выражение модели потерь на пути Log Distance :

${\displaystyle PL\;=P_{T_{dBm}}-P_{R_{dBm}}\;=\;PL_{0}\;+\;10\gamma \;\log _{10}{\frac {d}{d_{0}}}\;+\;X_{g},}$

Потери на трассе двулучевой волны, отраженной от земли, составляют

${\displaystyle PL\;=P_{t_{dBm}}-P_{r_{dBm}}\;=40\log _{10}(d)-10\log _{10}(Gh_{t}^{2}h_{r}^{2})}$

где

${\displaystyle PL_{0}=40\log _{10}(d_{0})-10\log _{10}(Gh_{t}^{2}h_{r}^{2})}$,

${\displaystyle X_{g}=0}$

а также

${\displaystyle \gamma =4}$

для критического расстояния.${\displaystyle d,d_{0}>d_{c}}$

В случае многосклонной модели [ править ]

Модель 2-лучевого отражения от земли может рассматриваться как случай модели с несколькими уклонами с точкой излома на критическом расстоянии с наклоном 20 дБ / декада до критического расстояния и крутизной 40 дБ / декада после критического расстояния. Используя модель свободного пространства и двухлучевую модель, описанную выше, потери на трассе распространения можно выразить как

${\displaystyle L=\max\{1,L_{FS},L_{2-ray}\}}$

где и - потери в свободном пространстве и на пути двух лучей.${\displaystyle L_{FS}=(4\pi d/\lambda )^{2}}$${\displaystyle L_{2-ray}=d^{4}/(h_{t}h_{r})^{2}}$

См. Также [ править ]

• Модель распространения радиоволн
• Потери в свободном пространстве
• Уравнение передачи Фрииса
• МСЭ-R P.525
• Бюджет ссылки
• Трассировка лучей (физика)
• Отражение (физика)
• Зеркальное отражение
• Шестилучевая модель
• Модель десяти лучей

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• С. Салоус, Измерение распространения радиоволн и моделирование каналов, Wiley, 2013.
• Дж. С. Сейболд, Введение в радиочастотное распространение, Wiley, 2005.
• К. Сивяк, Распространение радиоволн и антенны для личной связи, Artech House, 1998.
• Долуханов М.П. Распространение радиоволн. М .: Связь, 1972.
• Никольский В.В., Никольская Т.И. Электродинамика и распространение радиоволн. М .: Наука, 1989.