Метрика Хелли

В теории игр метрика Хелли используется для оценки расстояния между двумя стратегиями . Он назван в честь Эдуарда Хелли .

Рассмотрим игру между игроками I и II. Здесь и - наборы чистых стратегий для игроков I и II соответственно; и - функция выплаты.${\displaystyle \Gamma =\left\langle {\mathfrak {X}},{\mathfrak {Y}},H\right\rangle }$${\displaystyle {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle {\mathfrak {Y}}}$${\displaystyle H=H(\cdot ,\cdot )}$

(другими словами, если игрок I играет, а игрок II играет , то игрок I платит игроку II).${\displaystyle x\in {\mathfrak {X}}}$${\displaystyle y\in {\mathfrak {Y}}}$${\displaystyle H(x,y)}$

Метрика Хелли определяется как${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})}$

${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})=\sup _{y\in {\mathfrak {Y}}}\left|H(x_{1},y)-H(x_{2},y)\right|.}$

Определенная таким образом метрика является симметричной, рефлексивной и удовлетворяет неравенству треугольника .

Метрика Хелли измеряет расстояния между стратегиями не с точки зрения различий между самими стратегиями, а с точки зрения последствий стратегий. Две стратегии далеки, если их выплаты различны. Обратите внимание , что не означает , но это не означает , что последствия от и идентичны; и это действительно порождает отношение эквивалентности .${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})=0}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$

Если один оговаривает , что подразумевает то топология , индуцированная так называется естественной топологией .${\displaystyle \rho (x_{1},x_{2})=0}$${\displaystyle x_{1}=x_{2}}$

Аналогична метрика на пространстве стратегий игрока II:

${\displaystyle \rho (y_{1},y_{2})=\sup _{x\in {\mathfrak {X}}}\left|H(x,y_{1})-H(x,y_{2})\right|.}$

Обратите внимание, что таким образом определяются две метрики Хелли: по одной для области стратегии каждого игрока.${\displaystyle \Gamma }$

Условная компактность [ править ]

Напомним определение -net: набор - это -net в пространстве с метрикой, если для любого из них существует с .${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle X_{\epsilon }}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x_{\epsilon }\in X_{\epsilon }}$${\displaystyle \rho (x,x_{\epsilon })<\epsilon }$

Метрическое пространство является условно компактным (или предкомпактно), если для любого существует конечная -сеть в . Любая игра, условно компактная в метрике Хелли, имеет -оптимальную стратегию для любой . Более того, если пространство стратегий одного игрока условно компактно, то пространство стратегий другого игрока условно компактно (в их метрике Хелли).${\displaystyle P}$${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle P}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon >0}$

Ссылки [ править ]

Н. Н. Воробьев 1977. Лекции по теории игр для экономистов и системотехников . Springer-Verlag (перевод С. Коца).

Эта статья по теории игр - незавершенная . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

• v
• t
• e