Число Эрмита

В математике , цифры Эрмита являются значения полиномов Эрмита при нулевом аргументе. Обычно они определяются для полиномов Эрмита физиков.

Формальное определение [ править ]

Числа H _n = H _n (0), где H _n ( x ) - многочлен Эрмита порядка n , можно назвать числами Эрмита. ^[1]

Первые числа Эрмита:

${\ Displaystyle H_ {0} = 1 \,}$

${\ Displaystyle H_ {1} = 0 \,}$

${\ Displaystyle H_ {2} = - 2 \,}$

${\ Displaystyle H_ {3} = 0 \,}$

${\ Displaystyle H_ {4} = + 12 \,}$

${\ Displaystyle H_ {5} = 0 \,}$

${\ displaystyle H_ {6} = - 120 \,}$

${\displaystyle H_{7}=0\,}$

${\displaystyle H_{8}=+1680\,}$

${\displaystyle H_{9}=0\,}$

${\displaystyle H_{10}=-30240\,}$

Рекурсионные отношения [ править ]

Получены из рекурсивных соотношений эрмитовых многочленов при x = 0:

${\displaystyle H_{n}=-2(n-1)H_{n-2}.\,\!}$

Поскольку H ₀ = 1 и H ₁ = 0, можно построить замкнутую формулу для H _n :

${\displaystyle H_{n}={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is odd}}\\(-1)^{n/2}2^{n/2}(n-1)!!,&{\mbox{if }}n{\mbox{ is even}}\end{cases}}}$

где ( n - 1) !! = 1 × 3 × ... × ( n - 1).

Использование [ править ]

Из производящей функции эрмитовых многочленов следует, что

${\displaystyle \exp(-t^{2}+2tx)=\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}\,\!}$

В ^[1] дан формальный степенной ряд :

${\displaystyle H_{n}(x)=(H+2x)^{n}\,\!}$

где формально n-я степень H , H ⁿ , является n -м числом Эрмита, H _n . (См. Исчисление тьмы .)

Заметки [ править ]