Теорема единственности Холмгрена

---

В теории уравнений в частных производных теорема единственности Холмгрена , или просто теорема Холмгрена , названная в честь шведского математика Эрика Альберта Холмгрена (1873–1943), является результатом единственности для линейных уравнений в частных производных с вещественными аналитическими коэффициентами. ^[1]

Мы будем использовать мультииндексную нотацию : Пусть , где обозначаются неотрицательные целые числа; обозначать и${\ displaystyle \ alpha = \ {\ alpha _ {1}, \ dots, \ alpha _ {n} \} \ in \ mathbb {N} _ {0} ^ {n},}$${\ Displaystyle \ mathbb {N} _ {0}}$${\ Displaystyle | \ альфа | = \ альфа _ {1} + \ cdots + \ альфа _ {п}}$

Это утверждение с заменой «аналитического» на «гладкое» является классической леммой Германа Вейля об эллиптической регулярности : ^[2]

Пусть - связная открытая окрестность в , и пусть - аналитическая гиперповерхность в , такие что существуют два открытых подмножества и в , непустые и связные, не пересекающиеся ни друг с другом, такие что .${\ Displaystyle \ Омега}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ сигма}$${\ Displaystyle \ Омега}$${\ Displaystyle \ Омега _ {+}}$${\ Displaystyle \ Омега _ {-}}$${\ Displaystyle \ Омега}$${\ Displaystyle \ сигма}$${\ displaystyle \ Omega = \ Omega _ {-} \ cup \ Sigma \ cup \ Omega _ {+}}$

Пусть — дифференциальный оператор с вещественно-аналитическими коэффициентами.${\ displaystyle P = \ sum _ {| \ alpha | \ leq m} A _ {\ alpha} (x) \ partial _ {x} ^ {\ alpha}}$

Предположим, что гиперповерхность нехарактеристична по в каждой своей точке:${\ Displaystyle \ сигма}$${\ Displaystyle Р}$

---