Лемма Хотеллинга

Лемма Хотеллинга — это результат микроэкономики , который связывает предложение товара с максимальной прибылью производителя. Она была впервые показана Гарольдом Хотеллингом и широко используется в теории фирмы .

В частности, в нем говорится: скорость увеличения максимальной прибыли при повышении цены равна чистому предложению товара. Другими словами, если фирма делает выбор, чтобы максимизировать прибыль, то выбор может быть восстановлен на основе знания функции максимальной прибыли.

Пусть обозначают переменную цену, а постоянную стоимость каждого входа. Позвольте быть отображением от цены к набору допустимых входных выборов . Позвольте быть производственной функцией , и быть чистым предложением. ${\ Displaystyle р}$ ${\ Displaystyle ш}$ ${\ Displaystyle х: {\ mathbb {R} ^ {+}} \ стрелка вправо X}$ ${\ Displaystyle Х \ подмножество {\ mathbb {R} ^ {+}}}$ ${\ displaystyle f: {\ mathbb {R} ^ {+}} \ rightarrow {\ mathbb {R} ^ {+}}}$ ${\ Displaystyle у (р) \ треугольник е (х (р))}$

Тогда лемма утверждает, что если прибыль дифференцируема при , то максимальное чистое предложение определяется выражением ${\ Displaystyle \ пи}$ ${\ Displaystyle р}$

В частности, максимальную прибыль можно переписать как где максимизирующий вход, соответствующий . В силу оптимальности условие первого порядка дает ${\ displaystyle \ pi (p, x ^ {*}) = p \ cdot f (x ^ {*} (p)) - w \ cdot x ^ {*} (p)}$ ${\ Displaystyle х ^ {*}}$ ${\ Displaystyle у ^ {*}}$

Взяв производную по at , ${\ Displaystyle р}$ ${\ Displaystyle х ^ {*}}$