II25,1

---

В математике II _25,1 — это четная 26-мерная лоренцева унимодулярная решетка . У него есть несколько необычных свойств, возникающих в результате открытия Конвеем того, что он имеет вектор Вейля с нулевой нормой . В частности, он тесно связан с решеткой Лича Λ и имеет группу Конвея Co1 на вершине своей группы автоморфизмов.

Запишите R ^m,n для m+n размерного векторного пространства R ^m+n со скалярным произведением ( a ₁ ,..., a _m+n ) и ( b ₁ ,..., b _m+n ), заданным к

Решетка II _25,1 задается всеми векторами ( a ₁ ,..., a ₂₆ ) в R ^25,1 такими, что либо все a _i являются целыми числами, либо все они являются целыми числами плюс 1/2, а их сумма равна четное.

и два слагаемых ортогональны. Таким образом, мы можем записать векторы II _25,1 как (λ, m , n ) = λ + mz + nw с λ в Λ и m , n целыми числами, где (λ, m , n ) имеет норму λ ² –2 mn . Чтобы явно указать изоморфизм, пусть , и , так что подпространство , порожденное и является двумерной четной лоренцевской решеткой. Тогда изоморфна и мы восстанавливаем одно из определений Λ.${\ Displaystyle ш = (0,1,2,3, \ точки, 22,23,24; 70)}$${\ Displaystyle г = (1,0,2,3, \ точки, 22,23,24; 70)}$${\ Displaystyle Н}$${\displaystyle w}$${\displaystyle z}$${\displaystyle H^{\perp }}$${\displaystyle w^{\perp }/w}$

Конвей показал, что корни (векторы с нормой 2), имеющие внутренний продукт –1 с w = (0,0,1), являются простыми корнями группы отражения. Это векторы (λ, 1, λ ² /2–1) для λ в решетке Лича. Другими словами, простые корни можно отождествить с точками решетки Лича, и, кроме того, это изометрия множества простых корней к решетке Лича.

Группа отражений — это гиперболическая группа отражений, действующая в 25-мерном гиперболическом пространстве. Фундаментальная область группы отражений имеет 1 + 23 + 284 орбиты вершин следующим образом:

---