В области современной алгебры , известная как теория групп , то группа Conway Co 1 является спорадической простой группой из порядка
- 2 21 · 3 9 · 5 4 · 7 2 · 11 · 13 · 23
- = 4157776806543360000
- ≈ 4 × 10 18 .
История и свойства
Co 1 является одна из 26 спорадических групп и был обнаружен Конвей в 1968 г. Это самый большой из трех спорадических групп Конвей и могут быть получены как частное от деления Co 0 ( группа автоморфизмов этого пиявка решетки Л, фиксирующих начало координат) его центром , который состоит из скалярных матриц ± 1. Он также появляется на вершине группы автоморфизмов четной 26-мерной унимодулярной решетки II 25,1 . Некоторые довольно загадочные комментарии в собрании работ Витта предполагают, что он обнаружил решетку Пиявки и, возможно, порядок ее группы автоморфизмов в неопубликованной работе 1940 года.
Группа внешних автоморфизмов тривиальна, а множитель Шура имеет порядок 2.
Инволюции
Co 0 имеет 4 класса сопряженных инволюций; они коллапсируют до 2 в Co 1 , но есть 4-элемента в Co 0, которые соответствуют третьему классу инволюций в Co 1 .
Образ додекады имеет централизатор типа 2 11 : M 12 : 2, который содержится в максимальной подгруппе типа 2 11 : M 24 .
Образ октады или 16-множества имеет централизатор вида 2 1 + 8 .O 8 + (2), максимальная подгруппа.
Представления
Наименьшее точное перестановочное представление Co 1 находится на 98280 парах { v , - v } векторов нормы 4.
Имеется матричное представление размерности 24 над полем .
Централизатор инволюции типа 2B в группе монстров имеет вид 2 1 + 24 Co 1 .
Диаграмма Дынкина четной лоренцевой унимодулярной решетки II 1,25 изометрична (аффинной) решетке Лича Λ, поэтому группа диаграммных автоморфизмов является расщепляемым расширением Λ, Co 0 аффинных изометрий решетки Лича.
Максимальные подгруппы
Уилсон (1983) обнаружил 22 класса сопряженности максимальных подгрупп Co 1 , хотя в этом списке были некоторые ошибки, исправленные Уилсоном (1988) .
- Co 2
- 3. Suz : 2 Подъем к Aut (Λ) = Co 0 фиксирует сложную структуру или меняет ее на комплексно сопряженную структуру. Кроме того, вершина цепи Suzuki .
- 2 11 : M 24 Образ мономиальной подгруппы из Aut (Λ), которая стабилизирует стандартный репер из 48 векторов формы (± 8,0 23 ).
- Co 3
- 2 1 + 8 .O 8 + (2) централизатор инволюционного класса 2A (образ октады из Aut (Λ))
- Fi 21 : S 3 ≈ U 6 (2): S 3 Подъем в Aut (Λ) - это группа симметрии копланарного шестиугольника из 6 точек типа 2 .
- (A 4 × G 2 (4)): 2 в цепи Suzuki.
- 2 2 + 12 : (A 8 × S 3 )
- 2 4 + 12. (S 3 × 3.S 6 )
- 3 2 .U 4 (3) .D 8
- 3 6 : 2. M 12 (голоморф троичного кода Голея )
- (A 5 × J 2 ): 2 в цепи Suzuki
- 3 1 + 4 : 2.PSp 4 (3) .2
- (A 6 × U 3 (3)). 2 в цепи Suzuki
- 3 3 + 4 : 2. (S 4 × S 4 )
- 9 × S 3 в цепи Suzuki
- (A 7 × L 2 (7)): 2 в цепи Suzuki
- (D 10 × (A 5 × A 5 ) .2) .2
- 5 1 + 2 : GL 2 (5)
- 5 3 : (4 × A 5 ) .2
- 7 2 : (3 × 2.S 4 )
- 5 2 : 2A 5
Рекомендации
- Конуэй, Джон Хортон (1968), «Совершенный группа порядка 8,315,553,613,086,720,000 и спорадических простых групп», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 61 (2): 398-400, DOI : 10.1073 / PNAS .61.2.398 , MR 0237634 , PMC 225171 , PMID 16591697
- Брауэр, Р .; Сах, Чих-хан, ред. (1969), Теория конечных групп: симпозиум , WA Benjamin, Inc., Нью-Йорк-Амстердам, MR 0240186
- Конуэй, Джон Хортон (1969), "группа порядка 8,315,553,613,086,720,000", Бюллетень Лондонского математического общества , 1 : 79-88, DOI : 10,1112 / БЛМ / 1.1.79 , ISSN 0024-6093 , MR 0248216
- Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах», в Пауэлле, МБ; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы , Труды учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0, Руководство по ремонту 0338152Перепечатано в Conway & Sloane (1999 , 267-298).
- Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5, MR 0920369
- Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок через упаковку сфер до простых групп , Математические монографии Каруса, 21 , Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-023-7, Руководство по ремонту 0749038
- Конвей, Джон Хортон ; Паркер, Ричард А .; Нортон, Саймон П .; Кертис, RT; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9, MR 0827219
- Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540-62778-4, Руководство по ремонту 1707296
- Уилсон, Роберт А. (1983), "Максимальные подгруппы группы Конвея Co₁", журнал алгебры , 85 (1): 144-165, DOI : 10.1016 / 0021-8693 (83) 90122-9 , ISSN 0021-8693 , Руководство по ремонту 0723071
- Уилсон, Роберт А. (1988), «О 3-локальных подгруппах группы Конвея Co₁», Журнал алгебры , 113 (1): 261–262, DOI : 10.1016 / 0021-8693 (88) 90192-5 , ISSN 0021-8693 , Руководство 0928064
- Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы. , Тексты для выпускников по математике 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012
Внешние ссылки
- MathWorld: Группы Конвея
- Атлас представлений конечных групп: Co 1 версия 2
- Атлас представлений конечных групп: Co 1 версия 3