В области современной алгебры , известная как теория групп , то группа Conway Co 2 является спорадической простой группой из порядка
- 2 18 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 · 23
- = 42305421312000
- ≈ 4 × 10 13 .
История и свойства
Со 2 является одним из 26 спорадических групп , и была обнаружена ( Conway 1968 , 1969 ) в качестве группы автоморфизмов в Leech решетки Л фиксирующих решетки вектор типа 2 . Таким образом, это подгруппа Co 0 . Он изоморфен подгруппе Co 1 . Прямое произведение 2 × Co 2 максимально в Co 0 .
Мультипликатором Шура и внешний автоморфизм группы являются тривиальными .
Представления
Co 2 действует как группа перестановок 3 ранга на 2300 точках. Эти точки можно отождествить с плоскими шестиугольниками в решетке Пиявки, имеющей 6 вершин типа 2.
Co 2 действует на 23-мерную четную целочисленную решетку без корней определителя 4, заданную как подрешетка решетки Лича, ортогональная вектору нормы 4. Над полем с 2 элементами он имеет точное 22-мерное представление; это наименьшее точное представление любого поля.
Фейт (1974) показал, что если конечная группа имеет абсолютно неприводимое точное рациональное представление размерности 23 и не имеет подгрупп индекса 23 или 24, то она содержится либо в Z / 2 Z × Co 2, либо в Z / 2 Z × Co 3. .
Группа Матье M 23 изоморфна максимальной подгруппе Co 2, и одно представление в матрицах перестановок фиксирует вектор типа 2 u = (-3,1 23 ). Блочная сумма ζ инволюции η =
и 5 копий -η также фиксируют тот же вектор. Следовательно, Co 2 имеет удобное матричное представление внутри стандартного представления Co 0 . След элемента ζ равен -8, в то время как инволюции из M 23 имеют след 8.
24-мерная блочная сумма η и -η находится в Co 0 тогда и только тогда, когда количество копий η нечетно.
Другое представление фиксирует вектор v = (4, -4,0 22 ). Мономиальная и максимальная подгруппа включает представление M 22 : 2, где любое α, меняющее местами первые 2 координаты, восстанавливает v , затем инвертируя вектор. Также включены диагональные инволюции, соответствующие октадам (след 8), 16-м наборам (след -8) и додекадам (след 0). Можно показать, что Co 2 имеет всего 3 класса сопряженных инволюций. η оставляет (4, -4,0,0) без изменений; блочная сумма ζ обеспечивает немономиальный генератор, завершающий это представление Co 2 .
Есть альтернативный способ построить стабилизатор v . Теперь u и u + v = (1, -3,1 22 ) являются вершинами треугольника 2-2-2 (см. Ниже). Тогда u , u + v , v и их отрицания образуют копланарный шестиугольник, закрепленный ζ и M 22 ; они порождают группу Fi 21 ≈ U 6 (2). α (см. выше) расширяет это до Fi 21 : 2, которое является максимальным в Co 2 . Наконец, Co 0 транзитивен в точках типа 2, так что фиксация u с 23 циклами имеет сопряженную фиксацию v , и генерация завершена.
Максимальные подгруппы
Некоторые максимальные подгруппы фиксируют или отражают двумерные подрешетки решетки Лича. Обычно эти плоскости определяют с помощью hkl треугольников : треугольников, в которых начало координат является вершиной, а ребра (разности вершин) являются векторами типов h, k и l.
Уилсон (2009) нашел 11 классов сопряженности максимальных подгрупп Co 2 следующим образом:
- Fi 21 : 2 ≈ U 6 (2): 2 - группа симметрии / отражения копланарного шестиугольника из 6 точек типа 2. Исправляет один шестиугольник в перестановочном представлении Co 2 ранга 3 на 2300 таких шестиугольниках. В этой подгруппе шестиугольники разбиты на орбиты 1, 891 и 1408. Fi 21 фиксирует треугольник 2-2-2, определяющий плоскость.
- 2 10 : M 22 : 2 имеет мономиальное представление, описанное выше; 2 10 : M 22 фиксирует треугольник 2-2-4.
- МакЛ фиксирует треугольник 2-2-3.
- 2 1 + 8 : Sp 6 (2) - централизатор класса инволюции 2A (трасса -8)
- HS : 2 фиксирует треугольник 2-3-3 или меняет местами его вершины типа 3 со сменой знака.
- (2 4 × 2 1 + 6 ) .A 8
- U 4 (3): D 8
- 2 4 + 10. (S 5 × S 3 )
- М 23 фиксирует треугольник 2-3-4.
- 3 1 + 4. 2 1 + 4. S 5
- 5 1 + 2 : 4С 4
Классы сопряженности
Показаны следы матриц в стандартном 24-мерном представлении Co 2 . [1] Названия классов сопряженности взяты из Атласа представлений конечных групп. [2]
Централизаторы неизвестного состава указаны скобками.
Класс | Заказ централизатора | Централизатор | Размер класса | След | |
---|---|---|---|---|---|
1А | все Co 2 | 1 | 24 | ||
2А | 743 178 240 | 2 1 + 8 : пр 6 (2) | 3 2 · 5 2 · 11 · 23 | -8 | |
2B | 41 287 680 | 2 1 + 4 : 2 4 .A 8 | 2 · 3 4 · 5 2 11 · 23 | 8 | |
2C | 1,474,560 | 2 10 .А 6 .2 2 | 2 3 · 3 4 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
3А | 466 560 | 3 1 + 4 2 1 + 4 А 5 | 2 11 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | -3 | |
3B | 155 520 | 3 × У 4 (2) .2 | 2 11 · 3 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 6 | |
4А | 3 096 576 | 4.2 6 .U 3 (3) .2 | 2 4 · 3 3 · 5 3 · 11 · 23 | 8 | |
4B | 122 880 | [2 10 ] S 5 | 2 5 · 3 5 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | -4 | |
4C | 73 728 | [2 13 .3 2 ] | 2 5 · 3 4 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 4 | |
4D | 49,152 | [2 14 .3] | 2 4 · 3 5 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
4E | 6 144 | [2 11 .3] | 2 7 · 3 5 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 4 | |
4F | 6 144 | [2 11 .3] | 2 7 · 3 5 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
4G | 1,280 | [2 8 .5] | 2 10 · 3 6 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
5А | 3 000 | 5 1 + 2 2A 4 | 2 15 · 3 5 · 7 · 11 · 23 | -1 | |
5B | 600 | 5 × S 5 | 2 15 · 3 5 · 5 · 7 · 11 · 23 | 4 | |
6А | 5760 | 3,2 1 + 4 А5 | 2 11 · 3 4 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 5 | |
6B | 5 184 | [2 6 .3 4 ] | 2 12 · 3 2 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 1 | |
6C | 4320 | 6 × S 6 | 2 13 · 3 3 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 4 | |
6D | 3 456 | [2 7 .3 3 ] | 2 11 · 3 3 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | -2 | |
6E | 576 | [2 6 .3 2 ] | 2 12 · 3 4 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 2 | |
6F | 288 | [2 5 .3 2 ] | 2 13 · 3 4 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
7А | 56 | 7 × Д 8 | 2 15 · 3 6 · 5 3 · 11 · 233 | 3 | |
8A | 768 | [2 8 .3] | 2 10 · 3 5 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
8B | 768 | [2 8 .3] | 2 10 · 3 5 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | -2 | |
8C | 512 | [2 9 ] | 2 9 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 4 | |
8D | 512 | [2 9 ] | 2 9 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
8E | 256 | [2 8 ] | 2 10 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 2 | |
8F | 64 | [2 6 ] | 2 12 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 2 | |
9А | 54 | 9 × S 3 | 2 17 · 3 3 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 3 | |
10А | 120 | 5 × 2.А 4 | 2 15 · 3 5 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 3 | |
10B | 60 | 10 × S 3 | 2 16 · 3 5 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 2 | |
10C | 40 | 5 × Д 8 | 2 15 · 3 6 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
11А | 11 | 11 | 2 18 · 3 6 · 5 3 · 7 · 23 | 2 | |
12А | 864 | [2 5 .3 3 ] | 2 13 · 3 3 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | -1 | |
12B | 288 | [2 5 .3 2 ] | 2 13 · 3 4 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 1 | |
12C | 288 | [2 5 .3 2 ] | 2 13 · 3 4 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 2 | |
12D | 288 | [2 5 .3 2 ] | 2 13 · 3 4 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | -2 | |
12E | 96 | [2 5 .3] | 2 13 · 3 5 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 3 | |
12F | 96 | [2 5 .3] | 2 13 · 3 5 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 2 | |
12G | 48 | [2 4 .3] | 2 14 · 3 5 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 1 | |
12H | 48 | [2 4 .3] | 2 14 · 3 5 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
14А | 56 | 5 × Д 8 | 2 15 · 3 6 · 5 3 · 11 · 23 | -1 | |
14B | 28 год | 14 × 2 | 2 16 · 3 6 · 5 3 · 11 · 23 | 1 | эквивалент мощности |
14C | 28 год | 14 × 2 | 2 16 · 3 6 · 5 3 · 11 · 23 | 1 | |
15А | 30 | 30 | 2 17 · 3 5 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 1 | |
15B | 30 | 30 | 2 17 · 3 5 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 2 | эквивалент мощности |
15C | 30 | 30 | 2 17 · 3 5 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 2 | |
16А | 32 | 16 × 2 | 2 13 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 2 | |
16B | 32 | 16 × 2 | 2 13 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
18A | 18 | 18 | 2 17 · 3 4 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 1 | |
20А | 20 | 20 | 2 16 · 3 6 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 1 | |
20B | 20 | 20 | 2 16 · 3 6 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
23А | 23 | 23 | 2 18 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 | 1 | эквивалент мощности |
23B | 23 | 23 | 2 18 · 3 6 · 5 3 · 7 · 11 | 1 | |
24А | 24 | 24 | 2 15 · 3 5 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
24B | 24 | 24 | 2 15 · 3 5 · 5 3 · 7 · 11 · 23 | 1 | |
28А | 28 год | 28 год | 2 16 · 3 6 · 5 3 · 11 · 23 | 1 | |
30А | 30 | 30 | 2 17 · 3 5 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | -1 | |
30B | 30 | 30 | 2 17 · 3 5 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 0 | |
30C | 30 | 30 | 2 17 · 3 5 · 5 2 · 7 · 11 · 23 | 0 |
Рекомендации
- Конуэй, Джон Хортон (1968), «Совершенный группа порядка 8,315,553,613,086,720,000 и спорадических простых групп», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 61 (2): 398-400, DOI : 10.1073 / PNAS .61.2.398 , MR 0237634 , PMC 225171 , PMID 16591697
- Конуэй, Джон Хортон (1969), "группа порядка 8,315,553,613,086,720,000", Бюллетень Лондонского математического общества , 1 : 79-88, DOI : 10,1112 / БЛМ / 1.1.79 , ISSN 0024-6093 , MR 0248216
- Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах», в Пауэлле, МБ; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы , Труды учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0, Руководство по ремонту 0338152Перепечатано в Conway & Sloane (1999 , 267–298).
- Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5, MR 0920369
- Фейт, Вальтер (1974), "Об интегральных представлений конечных групп", Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 29 : 633-683, DOI : 10,1112 / ПНИЛ / s3-29.4.633 , ISSN 0024-6115 , MR 0374248
- Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок через упаковку сфер до простых групп , Математические монографии Каруса, 21 , Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-023-7, Руководство по ремонту 0749038
- Конвей, Джон Хортон ; Паркер, Ричард А .; Нортон, Саймон П .; Кертис, RT; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9, MR 0827219
- Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540-62778-4, Руководство по ремонту 1707296
- Уилсон, Роберт А. (1983), "Максимальные подгруппы группы Конвея · 2", журнал алгебры , 84 (1): 107-114, DOI : 10.1016 / 0021-8693 (83) 90069-8 , ISSN 0021- 8693 , Руководство MR 0716772
- Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы. , Тексты для выпускников по математике 251, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012
- Конкретный
- ^ Уилсон (1983)
- ^ http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/spor/Co2/#ccls
Внешние ссылки
- MathWorld: Группы Конвея
- Атлас представлений конечных групп: Co 2 версия 2
- Атлас представлений конечных групп: Co 2 версия 3