Группа перестановок ранга 3
В математической теории конечных групп группа перестановок ранга 3 действует транзитивно на множество, такое что стабилизатор точки имеет 3 орбиты . Изучение этих групп было начато Хигманом ( 1964 , 1971 ). Некоторые из спорадических простых групп были обнаружены как группы перестановок ранга 3.
Классификация
Все примитивные группы перестановок ранга 3 относятся к одному из следующих классов:
- Кэмерон (1981) классифицировал такие, где цоколь T группы T 0 прост, а T 0 является 2-транзитивной группой степени √ n .
- Либек (1987) классифицировал группы с регулярной элементарной абелевой нормальной подгруппой.
- Баннаи (1971–72) классифицировал те, цоколь которых представляет собой простую знакопеременную группу.
- Кантор и Либлер (1982) классифицировали те, цоколем которых является простая классическая группа.
- Liebeck & Saxl (1986) классифицировали те, цоколь которых представляет собой простую исключительную или спорадическую группу.
Примеры
Если G — любая 4-транзитивная группа, действующая на множестве S , то ее действие на пары элементов S — группа подстановок ранга 3. [1] В частности, большинство знакопеременных групп, симметричных групп и групп Матье обладают 4-транзитивными действиями и поэтому могут быть преобразованы в группы перестановок ранга 3.
Общая проективная линейная группа, действующая на прямых в проективном пространстве размерности не менее 3, является группой перестановок ранга 3.
Несколько групп 3-транспозиций являются группами перестановок ранга 3 (в действии на транспозиции).
Обычно точечный стабилизатор группы перестановок ранга 3, действующей на одной из орбит, является группой перестановок ранга 3. Это дает несколько «цепочек» групп перестановок ранга 3, таких как цепь Судзуки и цепь, заканчивающаяся группами Фишера .
Некоторые необычные группы перестановок ранга 3 (многие из ( Liebeck & Saxl 1986 )) перечислены ниже.
Для каждой строки в таблице ниже в сетке в столбце с пометкой «размер» число слева от знака равенства представляет собой степень группы перестановок для группы перестановок, упомянутой в строке. В сетке сумма справа от знака равенства показывает длины трех орбит стабилизатора точки группы перестановок. Например, выражение 15 = 1+6+8 в первой строке таблицы под заголовком означает, что группа перестановок для первой строки имеет степень 15, а длины трех орбит стабилизатора точки перестановки группы 1, 6 и 8 соответственно.
| Группа | Стабилизатор точки | размер | Комментарии |
|---|---|---|---|
| А 6 = L 2 (9) = Sp 4 (2)' = М 10 ' | С 4 | 15 = 1+6+8 | Пары точек или наборы из 3 блоков по 2 в представлении перестановки с 6 точками; два класса |
| А 9 | Л 2 (8):3 | 120 = 1+56+63 | Проективная линия Р 1 (8); два класса |
| А 10 | (А 5 × А 5 ):4 | 126 = 1+25+100 | Наборы из 2 блоков по 5 в представлении естественной 10-точечной перестановки |
| Л 2 (8) | 7:2 = Дих(7) | 36 = 1+14+21 | Пары точек в P 1 (8) |
| Л 3 (4) | А 6 | 56 = 1+10+45 | Гиперовалы в P 2 (4); три класса |
| Л 4 (3) | ПСп 4 (3):2 | 117 = 1+36+80 | Симплектические полярности P 3 (3); два класса |
| G 2 (2)' = U 3 (3) | ПСЛ 3 (2) | 36 = 1+14+21 | Цепь Сузуки |
| У 3 (5) | А 7 | 50 = 1+7+42 | Действие на вершинах графа Хоффмана-Синглтона ; три класса |
| У 4 (3) | Л 3 (4) | 162 = 1+56+105 | Два класса |
| Сп 6 (2) | Г 2 (2) = У 3 (3):2 | 120 = 1+56+63 | Группа Шевалле типа G 2 , действующая на алгебре октонионов над GF(2) |
| Ом 7 (3) | Г 2 (3) | 1080 = 1+351+728 | Группа Шевалле типа G 2 , действующая на мнимых октонионах алгебры октонионов над GF(3); два класса |
| У 6 (2) | У 4 (3):2 2 | 1408 = 1+567+840 | Точечный стабилизатор — это образ линейного представления, полученный в результате «обрушения» комплексного представления группы Митчелла (комплексной группы отражения) по модулю 2; три класса |
| М 11 | М 9 :2 = 3 2 :SD 16 | 55 = 1+18+36 | Пары точек в 11-точечном представлении перестановки |
| М 12 | М 10 :2 = А 6 ,2 2 = PΓL (2,9) | 66 = 1+20+45 | Пары точек или пары дополнительных блоков S (5,6,12) в представлении перестановки с 12 точками; два класса |
| М 22 | 2 4 :А 6 | 77 = 1+16+60 | Блоки S(3,6,22) |
| Дж 2 | У 3 (3) | 100 = 1+36+63 | Цепь Сузуки ; действие на вершинах графа Холла-Янко |
| Группа Хигмана-Симса HS | М 22 | 100 = 1+22+77 | Действие на вершинах графа Хигмана-Симса |
| М 22 | А 7 | 176 = 1+70+105 | Два класса |
| М 23 | M 21 :2 = L 3 (4):2 2 = PΣL(3,4) | 253 = 1+42+210 | Пары точек в 23-точечном представлении перестановки |
| М 23 | 2 4 :А 7 | 253 = 1+112+140 | Блоки S(4,7,23) |
| Группа Маклафлина McL | У 4 (3) | 275 = 1+112+162 | Действие на вершинах графа Маклафлина |
| М 24 | М 22 :2 | 276 = 1+44+231 | Пары точек в 24-точечном представлении перестановки |
| Г 2 (3) | У 3 (3):2 | 351 = 1+126+244 | Два класса |
| Г 2 (4) | Дж 2 | 416 = 1+100+315 | Цепь Сузуки |
| М 24 | М 12 :2 | 1288 = 1+495+792 | Пары дополнительных додекад в 24-точечном представлении перестановки |
| Группа Suzuki Суз | Г 2 (4) | 1782 = 1+416+1365 | Цепь Сузуки |
| Г 2 (4) | У 3 (4):2 | 2016 = 1+975+1040 | |
| Со 2 | БП 6 (2):2 | 2300 = 1+891+1408 | |
| Группа Рудвалис Ru | 2 Ф 4 (2) | 4060 = 1+1755+2304 | |
| Фи 22 | 2.БП 6 (2) | 3510 = 1+693+2816 | 3-транспозиции |
| Фи 22 | Ом 7 (3) | 14080 = 1+3159+10920 | Два класса |
| Фи 23 | 2. Фи 22 | 31671 = 1+3510+28160 | 3-транспозиции |
| Г 2 (8).3 | СУ 3 (8).6 | 130816 = 1+32319+98496 | |
| Фи 23 | ПОм 8 + (3).S 3 | 137632 = 1+28431+109200 | |
| Фи 24 ' | Фи 23 | 306936 = 1+31671+275264 | 3-транспозиции |
Примечания
- ^ Три орбиты: сама фиксированная пара; те пары, которые имеют один общий элемент с фиксированной парой; и те пары, у которых нет общего элемента с фиксированной парой.
использованная литература
- Баннаи, Эйичи (1971–72), «Максимальные подгруппы низкого ранга конечных симметрических и знакопеременных групп», Журнал факультета естественных наук. Токийский университет. Раздел IA. Математика , 18 : 475–486, ISSN 0040-8980 , MR 0357559
- Брауэр, А.Е.; Коэн, AM; Ноймайер, Арнольд (1989), Дистанционно-регулярные графы , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)], 18 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-50619-5, МР 1002568
- Кэмерон, Питер Дж. (1981), «Конечные группы перестановок и конечные простые группы», Бюллетень Лондонского математического общества , 13 (1): 1–22, CiteSeerX 10.1.1.122.1628 , doi : 10.1112/blms/13.1 .1 , ISSN 0024-6093 , MR 0599634
- Хигман, Дональд Г. (1964), «Конечные группы перестановок ранга 3» (PDF) , Mathematische Zeitschrift , 86 (2): 145–156, doi : 10.1007/BF01111335 , hdl : 2027.42/46298 , ISSN 0025-5874 , МР 0186724
- Хигман, Дональд Г. (1971), «Обзор некоторых вопросов и результатов о группах перестановок ранга 3» , Actes du Congrès International des Mathématiciens (Ницца, 1970) , 1 , Gauthier-Villars, стр. 361–365, MR 0427435
- Кантор, Уильям М. ; Либлер, Роберт А. (1982), «Перестановочные представления конечных классических групп ранга 3» (PDF) , Труды Американского математического общества , 271 (1): 1–71, doi : 10.2307/1998750 , ISSN 0002- 9947 , ДЖСТОР 1998750 , Г- Н 0648077
- Либек, Мартин В. (1987), «Аффинные группы перестановок третьего ранга», Труды Лондонского математического общества , третья серия, 54 (3): 477–516, CiteSeerX 10.1.1.135.7735 , doi : 10.1112 / plms /s3-54.3.477 , ISSN 0024-6115 , MR 0879395
- Либек, Мартин В. ; Саксл, Ян (1986), «Конечные примитивные группы перестановок ранга три», Бюллетень Лондонского математического общества , 18 (2): 165–172, doi : 10.1112/blms/18.2.165 , ISSN 0024-6093 , МР 0818821
- Конечные группы
