| Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
|---|
 |
В области современной алгебры , известная как теория групп , то McLaughlin группа McL является спорадической простой группой из порядка
- 2 7 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 = 898 128 000
- ≈ 9 × 10 8 .
История и свойства [ править ]
McL является одной из 26 спорадических групп и была обнаружена Джеком Маклафлином ( 1969 ) как подгруппа индекса 2 группы перестановок ранга 3, действующая на графе Маклафлина с 275 = 1 + 112 + 162 вершинами. Это фиксирует 2-2-3 треугольника в решетке Лича и , следовательно , является подгруппой из групп Conway , и . Его множитель Шура имеет порядок 3, а его группа внешних автоморфизмов имеет порядок 2. Группа 3.McL: 2 является максимальной подгруппой группы Лайонса .
McL имеет один класс сопряженной инволюции (элемент порядка 2), централизатор которого является максимальной подгруппой типа 2.A 8 . Это центр порядка 2; фактор по центру изоморфен знакопеременной группе A 8 .
Представления [ править ]
В группе Конвея Co 3 у McL есть нормализатор McL: 2, который максимален в Co 3 .
McL имеет 2 класса максимальных подгрупп, изоморфных группе Матье M 22 . Внешний автоморфизм меняет местами два класса групп M 22 . Этот внешний автоморфизм реализуется на McL, вложенном как подгруппа в Co 3 .
Удобное представление M 22 в матрицах перестановок по последним 22 координатам; он фиксирует треугольник 2-2-3 с вершинами в начале координат и точками типа 2 x = (−3, 1 23 ) и y = (−4, -4,0 22 ) '. Ребро треугольника x - y = (1, 5, 1 22 ) относится к типу 3 ; он фиксируется Co 3 . Этот M - 22 является одночлен , а максимальная , подгруппа представления MCL.
Wilson (2009) (стр. 207) показывает, что подгруппа McL хорошо определена. В решетке Пиявки предположим, что точка v типа 3 зафиксирована экземпляром . Подсчитайте такие точки w типа 2 , что скалярное произведение v · w = 3 (и, следовательно, v - w - это тип 2). Он показывает, что их число 552 = 2 3 ⋅3⋅23 и что этот Co 3 транзитивен на этих w .
| McL | = | Co3 | / 552 = 898 128 000.
McL - единственная спорадическая группа, допускающая неприводимые представления кватернионного типа . Он имеет 2 таких представления: одно размерности 3520 и другое размерность 4752.
Максимальные подгруппы [ править ]
Финкельштейн (1973) нашел 12 классов сопряженности максимальных подгрупп в McL следующим образом:
- У 4 (3) порядок 3 265 920 индекс 275 - точечный стабилизатор его действия на графе Маклафлина
- М 22 порядка 443,520 индекса 2,025 (два класса, слитые под внешним автоморфизмом)
- У 3 (5) порядок 126000 индекс 7128
- 3 1 + 4 : 2.S 5 порядка 58,320 индекса 15,400
- 3 4 : M 10 заказ 58,320 индекс 15,400
- L 3 (4): 2 2 порядка 40,320 индекса 22,275
- 2.A 8 порядка 40,320, индекс 22,275 - централизатор инволюции
- 2 4 : 7-й порядок 40,320, индекс 22,275 (два класса, слитые под внешним автоморфизмом)
- М 11 заказ 7920 индекс 113,400
- 5 + 1 + 2 : 3: 8 порядок 3000 индекс 299,376
Классы сопряженности [ править ]
Показаны следы матриц в стандартном 24-мерном представлении McL. [1] Названия классов сопряженности взяты из Атласа представлений конечных групп. [2]
Показаны циклические структуры в представлении перестановки ранга 3, степени 275, McL. [3]
| Класс | Заказ централизатора | Кол-во элементов | След | Тип цикла | |
|---|---|---|---|---|---|
| 1А | 898 128 000 | 1 | 24 | ||
| 2А | 40 320 | 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 11 | 8 | 1 35 , 2 120 | |
| 3А | 29 160 | 2 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 | -3 | 1 5 , 3 90 | |
| 3B | 972 | 2 3 ⋅ 3 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 | 6 | 1 14 , 3 87 | |
| 4А | 96 | 2 2 ⋅ 3 5 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 | 4 | 1 7 , 2 14 , 4 60 | |
| 5А | 750 | 2 6 ⋅ 3 5 ⋅ ⋅ 7 ⋅ 11 | -1 | 5 55 | |
| 5B | 25 | 2 7 ⋅ 3 6 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 | 4 | 1 5 , 5 54 | |
| 6А | 360 | 2 4 ⋅ 3 4 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 | 5 | 1 5 , 3 10 , 6 40 | |
| 6B | 36 | 2 5 ⋅ 3 4 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 | 2 | 1 2 , 2 6 , 3 11 , 6 38 | |
| 7А | 14 | 2 6 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 11 | 3 | 1 2 , 7 39 | эквивалент мощности |
| 7B | 14 | 2 6 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 11 | 3 | 1 2 , 7 39 | |
| 8A | 8 | 2 4 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 | 2 | 1, 2 3 , 4 7 , 8 30 | |
| 9А | 27 | 2 7 ⋅ 3 3 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 | 3 | 1 2 , 3, 9 30 | эквивалент мощности |
| 9B | 27 | 2 7 ⋅ 3 3 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 | 3 | 1 2 , 3, 9 30 | |
| 10А | 10 | 2 6 ⋅ 3 5 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 | 3 | 5 7 , 10 24 | |
| 11А | 11 | 2 7 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 | 2 | 11 25 | эквивалент мощности |
| 11B | 11 | 2 7 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 7 | 2 | 11 25 | |
| 12А | 12 | 2 5 ⋅ 3 5 ⋅ 5 3 ⋅ 7 ⋅ 11 | 1 | 1, 2 2 , 3 2 , 6 4 , 12 20 | |
| 14А | 14 | 2 6 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 11 | 1 | 2, 7 5 , 14 17 | эквивалент мощности |
| 14B | 14 | 2 6 ⋅ 3 6 ⋅ 5 3 ⋅ 11 | 1 | 2, 7 5 , 14 17 | |
| 15А | 30 | 2 6 ⋅ 3 5 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 | 2 | 5, 15 18 | эквивалент мощности |
| 15B | 30 | 2 6 ⋅ 3 5 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 | 2 | 5, 15 18 | |
| 30А | 30 | 2 6 ⋅ 3 5 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 | 0 | 5, 15 2 , 30 8 | эквивалент мощности |
| 30B | 30 | 2 6 ⋅ 3 5 ⋅ 5 2 ⋅ 7 ⋅ 11 | 0 | 5, 15 2 , 30 8 |
Обобщенный чудовищный самогон [ править ]
Конвей и Нортон в своей статье 1979 года предположили, что чудовищный самогон не ограничивается монстром. Лариса Куин и другие впоследствии обнаружили, что можно построить расширения многих Hauptmoduln из простых комбинаций размерностей спорадических групп. Для групп Конвея релевантный ряд Маккея – Томпсона - это и .
Ссылки [ править ]
- ^ Конвей и др. (1985)
- ^ http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/permrep/McLG1-p275B0
- ^ http://brauer.maths.qmul.ac.uk/Atlas/v3/permrep/McLG1-p275B0
- Конвей, Дж. Х .; Кертис, RT; Нортон, ИП ; Паркер, РА; и Уилсон, Р.А .: " Атлас конечных групп: максимальные подгруппы и обычные характеры для простых групп". Оксфорд, Англия, 1985.
- Финкельштейн, Ларри (1973), "Максимальные подгруппы Конуэй группы C 3 и группа Маклафлина", Journal алгебры , 25 : 58-89, DOI : 10.1016 / 0021-8693 (73) 90075-6 , ISSN 0021-8693 , MR 0346046
- Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540-62778-4, Руководство по ремонту 1707296
- Маклафлин, Джек (1969), «Простая группа порядка 898 128 000», в Брауэре , Р .; Сах, Чих-хан (ред.), Теория конечных групп (Симпозиум, Гарвардский университет, Кембридж, Массачусетс, 1968) , Бенджамин, Нью-Йорк, стр. 109–111, MR 0242941
- Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы , Тексты для выпускников по математике 251, 251 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl 1203.20012 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
Внешние ссылки [ править ]
- MathWorld: группа Маклафлина
- Атлас представлений конечных групп: группа Маклафлина
