Решетка пиявки

В математике , то решетка Лича является даже унимодулярная решетка Λ ₂₄ в 24-мерном евклидовом пространстве , которая является одной из лучших моделей для целовались задачи номер . Его открыл Джон Лич  ( 1967 ). Возможно, он также был обнаружен (но не опубликован) Эрнстом Виттом в 1940 году.

Характеристика [ править ]

Решетка Лича Λ ₂₄ является единственной решеткой в E ²⁴ со следующим списком свойств:

• Он унимодулярный ; т. е. он может быть порожден столбцами некоторой матрицы 24 × 24 с определителем  1.
• Это даже; т. е. квадрат длины каждого вектора в Λ ₂₄ является четным целым числом.
• Длина любого ненулевого вектора в Λ ₂₄ не меньше 2.

Последнее условие эквивалентно условию, что единичные шары с центрами в точках Λ ₂₄ не перекрываются. Каждый из них касается 196 560 соседей, и это, как известно, самое большое количество неперекрывающихся 24-мерных единичных шаров, которые могут одновременно касаться единственного единичного шара . Такое расположение 196 560 единичных шаров, центрированных вокруг другого единичного шара, настолько эффективно, что нет места для перемещения любого из шаров; эта конфигурация вместе с ее зеркальным отображением является единственной 24-мерной конфигурацией, в которой 196 560 единичных шаров одновременно касаются другого. Это свойство также верно в 1, 2 и 8 измерениях с 2, 6 и 240 единичными шарами, соответственно, на основе целочисленной решетки , гексагональной мозаики.и решетка E8 соответственно.

Она не имеет корневой системы и фактически является первой унимодулярной решеткой без корней (векторы с нормой меньше 4) и, следовательно, имеет центральную плотность 1. Умножив это значение на объем единичного шара в 24 измерениях , можно получить его абсолютную плотность.${\ displaystyle {\ tfrac {\ pi ^ {12}} {12!}}}$

Конвей (1983) показал, что решетка Лича изометрична множеству простых корней (или диаграмме Дынкина ) группы отражений 26-мерной четной лоренцевой унимодулярной решетки II _25,1 . Для сравнения, диаграммы Дынкина II _9,1 и II _17,1 конечны.

Приложения [ править ]

Двоичный код Голея , независимо друг от друга разработан в 1949 году, это приложение в теории кодирования . Более конкретно, это код исправления ошибок, способный исправлять до трех ошибок в каждом 24-битном слове и обнаруживать четвертую. Он использовался для связи с зондами Voyager , поскольку он намного компактнее, чем ранее использовавшийся код Адамара .

Квантователи или аналого-цифровые преобразователи могут использовать решетки для минимизации средней среднеквадратичной ошибки. Большинство квантователей основаны на одномерной целочисленной решетке , но использование многомерных решеток снижает среднеквадратичную ошибку. Решетка Пиявки - хорошее решение этой проблемы, так как ячейки Вороного имеют низкий второй момент .

Вершина алгебра в двумерной конформной теории поля , описывающей бозонную теорию струн , компактифицировано на 24-мерном фактор тора R ²⁴ / Л ₂₄ и orbifolded группой отражения двух элементов, обеспечивает явную конструкцию алгебры Грисса , что имеет те группа монстров как группа ее автоморфизмов. Эта вершинная алгебра монстров также использовалась для доказательства чудовищных гипотез о самогоне.

Конструкции [ править ]

Решетку пиявки можно построить разными способами. Как и все решетки, его можно построить, взяв целую оболочку столбцов его порождающей матрицы , матрицу 24 × 24 с определителем 1.

 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 2 2 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 2 2 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 0 2 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0−3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

^[1]

Использование двоичного кода Голея [ править ]

Решетка Лича может быть явно построена как набор векторов вида 2 ^−3/2 ( a ₁ , a ₂ , ..., a ₂₄ ), где a _i - целые числа, такие что

${\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{24}\equiv 4a_{1}\equiv 4a_{2}\equiv \cdots \equiv 4a_{24}{\pmod {8}}}$

и для каждого фиксированного класса остатка по модулю 4 24-битовое слово, единицы которого соответствуют координатам i, таким, что a _i принадлежит этому классу остатка, является словом в двоичном коде Голея . Код Голея, вместе с соответствующим дизайном Витта, используется в конструкции для 196560 минимальных векторов в решетке Пиявки.

Используя лоренцеву решетку II _25,1 [ править ]

Решетка Лича также может быть построена как где w - вектор Вейля:${\displaystyle w^{\perp }/w}$

${\displaystyle (0,1,2,3,\dots ,22,23,24;70)}$

в 26-мерной четной лоренцевой унимодулярной решетке II 25,1 . Существование такого интегрального вектора с нулевой лоренцевой нормой основывается на том факте, что 1 ² + 2 ² + ... + 24 ² является полным квадратом (фактически 70 ² ); число 24 является единственным целым числом больше 1 с этим свойством. Это предположение было высказано Эдуардом Лукасом , но доказательство пришло намного позже, основанное на эллиптических функциях .

Вектор в этой конструкции действительно является вектором Вейля четной подрешетки D ₂₄ нечетной унимодулярной решетки I ²⁵ . В более общем смысле, если L - любая положительно определенная унимодулярная решетка размерности 25 с по крайней мере 4 векторами нормы 1, то вектор Вейля его корней нормы 2 имеет целую длину, и существует аналогичная конструкция решетки Лича с использованием L и этого Вектор Вейля.${\displaystyle (0,1,2,3,\dots ,22,23,24)}$

На основе других решеток [ править ]

Конвей и Слоан (1982) описали еще 23 конструкции решетки Пиявки , каждая из которых основана на решетке Нимейера . Он также может быть построен с использованием трех копий решетки E8 таким же образом, как двоичный код Голея может быть построен с использованием трех копий расширенного кода Хэмминга , H ₈ . Эта конструкция известна как Turyn конструкции решетки Лича.

В виде ламинированной решетки [ править ]

Начиная с одной точки Λ ₀ , можно складывать копии решетки Λ _n, чтобы сформировать ( n  + 1) -мерную решетку Λ _{n +1} , не уменьшая минимального расстояния между точками. Λ ₁ соответствует целочисленной решетке , Λ ₂ - гексагональной решетке , Λ ₃ - гранецентрированной кубической упаковке. Конвей и Слоан (1982b) показали, что решетка Пиявки представляет собой уникальную многослойную решетку в 24 измерениях.

В виде сложной решетки [ править ]

Решетка Лича также является 12-мерной решеткой над целыми числами Эйзенштейна . Это известно как комплексная решетка Пиявки и изоморфна 24-мерной реальной решетке Пиявки. При сложной конструкции решетки Пиявки двоичный код Голея заменяется троичным кодом Голея , а группа Матье M 24 заменяется группой Матье M 12 . E ₆ решетки, E ₈ решетки и Косетер-Todd решетки также конструкции как сложные решетки, над либо Эйзенштейна или целых гауссовых.

Использование икозианского кольца [ править ]

Решетка Пиявки также может быть построена с помощью кольца икозианов . Икозиево кольцо абстрактно изоморфно решетке E8 , три копии которой могут быть использованы для построения решетки Пиявки с использованием конструкции Турина.

Конструкция Витта [ править ]

В 1972 году Витт дал следующую конструкцию, которую он сказал , что он нашел в 1940 году, 28 января , что Пусть H является п по п Адамара матрицы , где п = 4 аб . Затем матрица определяет билинейную форму в 2 n измерениях, ядро ​​которой имеет n измерений. Фактор по этому ядру является nonsinguar билинейная форма , принимающая значения в (1/2) Z . Он имеет 3 подрешетки индекса 2, которые являются целочисленными билинейными формами. Витт получил решетку Лича как одну из этих трех подрешеток, взяв a = 2, b = 3 и взяв H как матрицу 24 на 24 (с индексом${\displaystyle {\begin{pmatrix}Ia&H/2\\H/2&Ib\end{pmatrix}}}$Z / 23 Z ∪ ∞) с элементами Χ ( m + n ), где Χ (∞) = 1, Χ (0) = - 1, Χ ( n ) = - символ квадратичного вычета по модулю 23 для ненулевого n . Эта матрица H представляет собой матрицу Пэли с незначительными изменениями знака.

Использование матрицы Пэли [ править ]

Чапман (2001) описал конструкцию с использованием косой матрицы Адамара типа Пэли . Niemeier решетка с корневой системой может быть сделана в виде модуль для кольца целых чисел поля . Умножение этой решетки Нимейера на неглавный идеал кольца целых чисел дает решетку Лича.${\displaystyle D_{24}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-23}})}$

Использование октонионов [ править ]

Если L - это множество октонионов с координатами на решетке , то решетка Лича - это множество троек таких, что${\displaystyle E_{8}}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$

${\displaystyle x,y,z\in L}$

${\displaystyle x+y,y+z,x+z\in L{\bar {s}}}$

${\displaystyle x+y+z\in Ls}$

где . Это построение связано с ( Wilson 2009 ).${\displaystyle s={\frac {1}{2}}(-e_{1}+e_{2}+e_{3}+e_{4}+e_{5}+e_{6}+e_{7})}$

Симметрии [ править ]

Решетка пиявки очень симметрична. Ее группа автоморфизмов - это группа Конвея Co ₀ порядка 8 315 553 613 086 720 000. Центр Co ₀ состоит из двух элементов, а фактор-группа Co ₀ по этому центру - это группа Конвея Co ₁ , конечный простой группа. Многие другие спорадические группы , такие как оставшиеся группы Конвея и группы Матье , могут быть построены как стабилизаторы различных конфигураций векторов в решетке Лича.

Несмотря на такую ​​высокую группу вращательной симметрии, решетка Пиявки не обладает гиперплоскостями симметрии отражения. Другими словами, решетка Пиявки киральна . Он также имеет гораздо меньше симметрий, чем 24-мерный гиперкуб и симплекс.

Группа автоморфизмов была впервые описана Джоном Конвеем . 398034000 векторов нормы 8 попадают в 8292375 «пересечений» из 48 векторов. Каждый крест содержит 24 взаимно ортогональных вектора и их отрицания и, таким образом, описывает вершины 24-мерного ортоплекса . Каждый из этих крестов может быть принят за систему координат решетки и имеет ту же симметрию, что и код Голея , а именно 2 ¹² × | M ₂₄ |. Следовательно, полная группа автоморфизмов решетки Пиявки имеет порядок 8292375 × 4096 × 244823040, или 8 315 553 613 086 720 000.

Геометрия [ править ]

Conway, Parker & Sloane (1982) показали, что радиус покрытия решетки пиявки равен ; другими словами, если мы поместим замкнутый шар этого радиуса вокруг каждой точки решетки, то они просто покроют евклидово пространство. Точки, находящиеся на расстоянии не менее чем от всех узлов решетки, называются глубокими отверстиями решетки Пиявки. Их 23 орбиты находятся под группой автоморфизмов решетки Лича, и эти орбиты соответствуют 23 решеткам Нимейера, отличным от решетки Лича: множество вершин глубокой дыры изометрично аффинной диаграмме Дынкина соответствующей решетки Нимейера.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Решетка пиявки имеет плотность . Кон и Кумар (2009) показали, что он дает наиболее плотную решетчатую упаковку шаров в 24-мерном пространстве. Генри Кон, Абхинав Кумар и Стивен Д. Миллер и др. ( 2016 ) улучшили это, показав, что это самая плотная упаковка сфер, даже среди нерешетчатых упаковок.${\displaystyle {\tfrac {\pi ^{12}}{12!}}\approx 0.001930\ldots }$

Минимальные векторы 196560 бывают трех различных разновидностей, известных как формы :

• ${\displaystyle 1104={\binom {24}{2}}\cdot 2^{2}}$векторы формы (4 ² , 0 ²² ) для всех перестановок и выбора знаков;
• ${\displaystyle 97152=759\cdot 2^{8}\cdot {\frac {1}{2}}}$векторы формы (2 ⁸ , 0 ¹⁶ ), где двойки соответствуют октаде в коде Голея, и есть любое четное количество знаков минус;
• ${\displaystyle 98304=2^{12}\cdot 24}$векторы формы (3, ± 1 ²³ ), где нижний знак используется для «1» любого кодового слова кода Голея, а «∓3» может появляться в любой позиции.

Троичный код Голея , двоичный код Голея и Leech решеток дают очень эффективные 24-мерная сферические коды 729, 4096 и 196560 точек, соответственно. Сферические коды являются многомерными аналогами проблемы Таммеса , которая возникла как попытка объяснить распределение пор на пыльцевых зернах. Они распределены таким образом, чтобы минимальный угол между ними был максимальным. В двух измерениях проблема тривиальна, но в трех измерениях и выше - нет. Примером сферического кода в трех измерениях является набор из 12 вершин правильного икосаэдра.

Серия Theta [ править ]

Любой (положительно определенной) решетке Λ можно сопоставить тэта-функцию, заданную формулой

${\displaystyle \Theta _{\Lambda }(\tau )=\sum _{x\in \Lambda }e^{i\pi \tau \|x\|^{2}}\qquad \operatorname {Im} \tau >0.}$

Тогда тета-функция решетки является голоморфной функцией на верхней полуплоскости . Более того, тета-функция четной унимодулярной решетки ранга n на самом деле является модулярной формой веса n / 2 для полной модулярной группы PSL (2, Z ). Тета-функцию целочисленной решетки часто записывают в виде степенного ряда в, так что коэффициент при q ⁿ дает количество векторов решетки с квадратом нормы 2 n${\displaystyle q=e^{2i\pi \tau }}$. В решетке Пиявки имеется 196560 векторов с квадратом нормы 4, 16773120 векторов с квадратом нормы 6, 398034000 векторов с квадратом нормы 8 и так далее. Тета-ряд решетки Пиявки равен

${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{\Lambda _{24}}(\tau )&=E_{12}(\tau )-{\frac {65520}{691}}\Delta (\tau )\\[5pt]&=1+\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {65520}{691}}\left(\sigma _{11}(m)-\tau (m)\right)q^{m}\\[5pt]&=1+196560q^{2}+16773120q^{3}+398034000q^{4}+\cdots ,\end{aligned}}}$

где - нормированный ряд Эйзенштейна веса 12, - модульный дискриминант , - функция делителя для показателя степени 11 и - тау-функция Рамануджана . Отсюда следует, что при m ≥1 количество векторов квадрата нормы 2 m равно${\displaystyle E_{12}(\tau )}$${\displaystyle \Delta (\tau )}$${\displaystyle \sigma _{11}(n)}$${\displaystyle \tau (n)}$

${\displaystyle {\frac {65520}{691}}\left(\sigma _{11}(m)-\tau (m)\right).}$

История [ править ]

Многие из сечений пиявка решетки, в том числе решетки Косетер-Тодда и Barnes-Wall решетки , в 12 и 16 размеров, были обнаружены гораздо раньше , чем пиявки решетки. О'Коннор и Полл (1944) открыли родственную нечетную унимодулярную решетку в 24 измерениях, теперь называемую нечетной решеткой Пиявки, одним из двух четных соседей которой является решетка Пиявки. Решетка Пиявки была открыта в 1965 году Джоном Личем  ( 1967 , 2.31, стр. 262), улучшив некоторые ранее обнаруженные им упаковки сфер ( Пиявка 1964 ).

Конвей  ( 1968 ) вычислил порядок группы автоморфизмов решетки Пиявки и, работая с Джоном Г. Томпсоном , обнаружил в качестве побочного продукта три новые спорадические группы : группы Конвея , Co ₁ , Co ₂ , Co ₃ . Они также показали, что четыре другие (тогда) недавно объявленные спорадические группы, а именно, группа Хигмана-Симса , Сузуки , Маклафлина и группа Янко J ₂ могут быть найдены внутри групп Конвея с использованием геометрии решетки Пиявки. (Ронан, стр.155)

У Витта (1941 , с. 324) есть одно довольно загадочное предложение, в котором упоминается, что он обнаружил более 10 даже унимодулярных решеток в 24 измерениях, без дополнительных подробностей. Витт (1998 , стр. 328–329) заявил, что он обнаружил 9 таких решеток ранее, в 1938 г., и нашел еще две, решетку Нимейера с A²⁴
₁ корневая система и решетка пиявки (а также нечетная решетка пиявки) в 1940 году.

См. Также [ править ]

• Упаковка сфер
• Решетка E 8

Ссылки [ править ]

• Чепмен, Робин (2001), «Конференционные матрицы и унимодулярные решетки», Европейский журнал комбинаторики , 22 (8): 1033–1045, arXiv : math.NT / 0007116 , doi : 10.1006 / eujc.2001.0539 , ISSN  0195-6698 , Руководство по ремонту  1861046 , Zbl  0993.05036
• Кон, Генри; Кумар, Abhinav (2009), "оптимальность и единственность пиявки решетки среди решеток", Annals математики , 170 (3): 1003-1050, Arxiv : math.MG/0403263 , DOI : 10.4007 / annals.2009.170.1003 , ISSN  1939-8980 , MR  2600869 , S2CID  10696627 , Zbl  1213.11144
• Кон, Генри; Кумар, Абхинав (2004), «Самая плотная решетка в двадцати четырех измерениях», Объявления об электронных исследованиях Американского математического общества , 10 (7): 58–67, arXiv : math.MG/0408174 , Bibcode : 2004math ... ... 8174C , DOI : 10,1090 / S1079-6762-04-00130-1 , ISSN  1079-6762 , MR  2075897 , S2CID  15874595
• Кон, Генри; Кумар, Абхинав; Миллер, Стивен Д .; Радченко, Данило; Вязовская, Марина (2017), «Проблема упаковки сфер в измерении 24», Анналы математики , 185 (3): 1017–1033, arXiv : 1603.06518 , Bibcode : 2016arXiv160306518C , doi : 10.4007 / annals.2017.185.3.8 , S2CID  119281758 CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Конвей, Джон Хортон (1968), «Совершенная группа порядка 8 315 553 613 086 720 000 и спорадические простые группы», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 61 (2): 398–400, Bibcode : 1968PNAS .. .61..398C , DOI : 10.1073 / pnas.61.2.398 , МР  0237634 , КУП  225171 , PMID  16591697
• Конуэй, Джон Хортон (1983), "Группа автоморфизмов 26-мерной даже унимодулярного лоренцевского решетки", Journal алгебры , 80 (1): 159-163, DOI : 10.1016 / 0021-8693 (83) 90025-X , ISSN  0021-8693 , MR  0690711
• Конвей, Джон Хортон ; Sloane, NJA (1982b), "Ламинированные решетки", Анналы математики , второй серии, 116 (3): 593-620, DOI : 10,2307 / 2007025 , ISSN  0003-486X , JSTOR  2007025 , МР  0678483
• Конвей, Джон Хортон ; Паркер, РА; Sloane, NJA (1982), "Радиус накрытия Лича решетки", Труды Королевского общества А , 380 (1779): 261-290, Bibcode : 1982RSPSA.380..261C , да : 10.1098 / rspa.1982.0042 , ISSN  0080-4630 , Руководство по эксплуатации  0660415 , S2CID  202575323
• Конвей, Джон Хортон ; Sloane, NJA (1982), "Двадцать три конструкции для Лича решетки", Труды Королевского общества А , 381 (1781): 275-283, Bibcode : 1982RSPSA.381..275C , DOI : 10.1098 / rspa.1982.0071 , ISSN  0080-4630 , MR  0661720 , S2CID  202575295
• Конвей, JH ; Sloane, NJA (1999) , Сферические упаковки, решетки и группы , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 , при участии Bannai, E .; Borcherds, RE; Leech, J .; Нортон, ИП; Одлызко AM; Паркер, РА; Queen, L .; Венков, BB (Третье изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98585-5, Руководство по ремонту  0662447 , Zbl  0915.52003
• Дю Сотуа, Маркус (2009), В поисках самогона , Четвертое поместье, ISBN 978-0-00-721462-4
• Грисс, Роберт Л. (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Springer по математике, Берлин: Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / 978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540-62778-4, Руководство по ремонту  1707296
• Лич, Джон (1964), "Некоторые сферы упаковки в высшем пространстве", Canadian Journal математики , 16 : 657-682, DOI : 10,4153 / CJM-1964-065-1 , ISSN  0008-414X , MR  0167901
• Лич, Джон (1967), "Заметки о сфере упаковки", Canadian Journal математики , 19 : 251-267, DOI : 10,4153 / CJM-1967-017-0 , ISSN  0008-414X , MR  0209983
• О'Коннор, RE; Палл, Г. (1944), "Построение интегральных квадратичных форм определителем 1", Герцога математический журнал , 11 (2): 319-331, DOI : 10,1215 / S0012-7094-44-01127-0 , ISSN  0012- 7094 , Руководство по ремонту  0010153
• Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок через упаковку сфер к простым группам , Математические монографии Каруса, 21 , Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, ISBN 978-0-88385-023-7, Руководство по ремонту  0749038
• Ронан, Марк (2006), Симметрия и чудовище , Оксфорд: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-280722-9, Руководство по ремонту  2215662
• Уилсон, Роберт А. (2009), "Октонионы и решетка Лича", журнал алгебры , 322 (6): 2186-2190, DOI : 10.1016 / j.jalgebra.2009.03.021 , MR  2542837
• Витт, Эрнст (1941), "Eine Identität Zwischen Modulformen zweiten сортов", Abhandlungen AUS DEM Mathematischen семинар - дер - Universität Hamburg , 14 : 323-337, DOI : 10.1007 / BF02940750 , МР  0005508 , S2CID  120849019
• Витт, Эрнст (1998), Сборник статей. Gesammelte Abhandlungen , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-57061-5, Руководство по ремонту  1643949

Внешние ссылки [ править ]

• Решетка пиявки (CP4space)
• Вайсштейн, Эрик В. "Решетка пиявки" . MathWorld .
• The Leech Lattice, U. of Illinois в Чикаго, веб-сайт Марка Ронана
• Статьи Р.Е. Борчердса