В области современной алгебры , известная как теория групп , то группа Матьи M 23 является спорадической простой группой из порядка
- 2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 11 · 23 = 10200960
- ≈ 1 × 10 7 .
История и свойства
M 23 - одна из 26 спорадических групп, введенная Матье ( 1861 , 1873 ). Это 4-кратная транзитивная группа перестановок на 23 объектах. Мультипликатором Шура и внешний автоморфизм группы являются тривиальными .
Милграм (2000) вычислил интегральные когомологии и, в частности, показал, что M 23 обладает необычным свойством: все первые 4 группы целочисленных гомологий обращаются в нуль.
Обратная задача Галуа , кажется, нерешенные М 23 . Другими словами, кажется, что ни один многочлен от Z [x] не имеет M 23 в качестве своей группы Галуа. Обратная задача Галуа решена для всех остальных спорадических простых групп.
Построение с использованием конечных полей
Пусть F 2 11 - конечное поле из 2 11 элементов. Его группа единиц имеет порядок 2 11 - 1 = 2047 = 23 · 89, поэтому в нем есть циклическая подгруппа C порядка 23.
Группы Матьи М 23 могут быть идентифицированы с группой F 2 -линейных автоморфизмами F - 11 , стабилизирующих C . Точнее, действие этой группы автоморфизмов на C можно отождествить с 4-кратным транзитивным действием M 23 на 23 объектах.
Представления
M 23 является точечным стабилизатором действия группы Матье M24 на 24 точках, что дает ей 4-транзитивное перестановочное представление на 23 точках с точечным стабилизатором группы Матье M22 .
M 23 имеет 2 различных действия ранга 3 на 253 очках. Первый - это действие на неупорядоченные пары с размерами орбит 1 + 42 + 210 и точечный стабилизатор M 21 .2, а другой - на гептады с размерами орбит 1 + 112 + 140 и точечный стабилизатор 2 4 .A 7 .
Интегральное представление, соответствующее действию перестановки на 23 точках, распадается на тривиальное представление и 22-мерное представление. 22-мерное представление неприводимо над любым полем характеристики, отличной от 2 или 23.
Над полем порядка 2 оно имеет 2 11-мерных представления, ограничения соответствующих представлений группы Матье M24 .
Максимальные подгруппы
Существует 7 классов сопряженности максимальных подгрупп в M 23 :
- М 22 , заказ 443520
- PSL (3,4): 2, порядок 40320, орбиты 21 и 2
- 2 4 : A 7 , порядок 40320, орбиты 7 и 16
- Стабилизатор W 23 блока
- A 8 , порядок 20160, орбиты 8 и 15
- M 11 , порядок 7920, орбиты 11 и 12
- (2 4 : A 5 ): S 3 или M 20 : S 3 , порядок 5760, орбиты 3 и 20 (5 блоков по 4)
- Одноточечный стабилизатор группы секстета
- 23:11, порядок 253, просто переходный
Классы сопряженности
Заказ | Кол-во элементов | Структура цикла | |
---|---|---|---|
1 = 1 | 1 | 1 23 | |
2 = 2 | 3795 = 3 · 5 · 11 · 23 | 1 7 2 8 | |
3 = 3 | 56672 = 2 5 · 7 · 11 · 23 | 1 5 3 6 | |
4 = 2 2 | 318780 = 2 2 · 3 2 · 5 · 7 · 11 · 23 | 1 3 2 2 4 4 | |
5 = 5 | 680064 = 2 7 · 3 · 7 · 11 · 23 | 1 3 5 4 | |
6 = 2 · 3 | 850080 = 2 5 · 3 · 5 · 7 · 11 · 23 | 1 · 2 2 3 2 6 2 | |
7 = 7 | 728640 = 2 6 · 3 2 · 5 · 11 · 23 | 1 2 7 3 | эквивалент мощности |
728640 = 2 6 · 3 2 · 5 · 11 · 23 | 1 2 7 3 | ||
8 = 2 3 | 1275120 = 2 4 · 3 2 · 5 · 7 · 11 · 23 | 1 · 2 · 4 · 8 2 | |
11 = 11 | 927360 = 2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 23 | 1 · 11 2 | эквивалент мощности |
927360 = 2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 23 | 1 · 11 2 | ||
14 = 2,7 | 728640 = 2 6 · 3 2 · 5 · 11 · 23 | 2,7,14 | эквивалент мощности |
728640 = 2 6 · 3 2 · 5 · 11 · 23 | 2,7,14 | ||
15 = 3 · 5 | 680064 = 2 7 · 3 · 7 · 11 · 23 | 3 · 5 · 15 | эквивалент мощности |
680064 = 2 7 · 3 · 7 · 11 · 23 | 3 · 5 · 15 | ||
23 = 23 | 443520 = 2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 11 | 23 | эквивалент мощности |
443520 = 2 7 · 3 2 · 5 · 7 · 11 | 23 |
Рекомендации
- Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок , Студенческие тексты Лондонского математического общества, 45 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-65378-7
- Кармайкл, Роберт Д. (1956) [1937], Введение в теорию групп конечного порядка , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-60300-1, Руководство по ремонту 0075938
- Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах» , в Пауэлле, МБ; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы , Труды учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0, Руководство по ремонту 0338152Перепечатано в Conway & Sloane (1999 , 267–298).
- Конвей, Джон Хортон ; Паркер, Ричард А .; Нортон, Саймон П .; Кертис, RT; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9, MR 0827219
- Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5, MR 0920369
- Кайперс, Ганс, Группы Матье и их геометрии (PDF)
- Диксон, Джон Д .; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок , Тексты для выпускников по математике, 163 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0731-3 , ISBN 978-0-387-94599-6, Руководство по ремонту 1409812
- Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540-62778-4, Руководство по ремонту 1707296
- Матье, Эмиль (1861 г.), "Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs Quantités, sur la manière de les previous et sur les замен, qui les laissent неизменные" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 6 : 241–323
- Матья, Эмиль (1873), "Sur ла fonction Cinq фу транзитивная де 24 quantités" , Журнал де Mathématiques Pures и др Appliqué (на французском языке), 18 : 25-46, JFM 05.0088.01[ постоянная мертвая ссылка ]
- Милграм, Р. Джеймс (2000), "Когомология Матья группы M₂₃", Журнал теории групп , 3 (1): 7-26, DOI : 10,1515 / jgth.2000.008 , ISSN 1433-5883 , МР 1736514
- Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок через упаковку сфер до простых групп , Математические монографии Каруса, 21 , Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-023-7, Руководство по ремонту 0749038
- Витт, Эрнст (1938a), "über Steinersche Systeme", Abhandlungen AUS DEM Mathematischen семинар - дер - Universität Hamburg , 12 : 265-275, DOI : 10.1007 / BF02948948 , ISSN 0025-5858 , S2CID 123106337
- Витт, Эрнст (1938b), "Die 5-FACH transitiven Gruppen фон Матьё", Abhandlungen AUS DEM Mathematischen семинар - дер - Universität Hamburg , 12 : 256-264, DOI : 10.1007 / BF02948947 , S2CID 123658601
Внешние ссылки
- MathWorld: Группы Матье
- Атлас представлений конечных групп: M 23