| Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп |
|---|
 |
В области современной алгебры , известная как теория групп , то группа Матьи M 11 является спорадической простой группой из порядка
- 2 4 · 3 2 · 5 · 11 = 7920.
История и свойства [ править ]
M 11 - одна из 26 спорадических групп, введенная Матье ( 1861 , 1873 ). Это самая маленькая спорадическая группа и, наряду с другими четырьмя группами Матье, обнаруженная первой. Мультипликатором Шура и внешний автоморфизм группы являются тривиальными .
M 11 представляет собой строго 4-транзитивную группу перестановок на 11 объектах и может быть определена некоторым набором перестановок, например парой (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11) , (3,7,11,8) (4,10,5,6) перестановок, используемых системой компьютерной алгебры GAP .
Представления [ править ]
M 11 имеет строго 4-транзитивное перестановочное представление на 11 точках, стабилизатор точки которого иногда обозначается M 10 , и является нерасщепляемым расширением формы A 6 .2 (расширение группы порядка 2 с помощью альтернирующего группа А 6 ). Это действие является группой автоморфизмов системы Штейнера S (4,5,11). Индуцированное действие на неупорядоченных парах точек дает действие 3-го ранга на 55 точках.
M 11 имеет 3-транзитивное перестановочное представление на 12 точках со стабилизатором точки PSL 2 (11). Представления перестановок в 11 и 12 точках можно рассматривать внутри группы Матье M12 как два разных вложения M 11 в M 12 , обмениваемых внешним автоморфизмом.
Перестановочное представление в 11 точках дает сложное неприводимое представление в 10 измерениях. Это наименьшее возможное измерение точного комплексного представления, хотя есть также два других таких представления в 10 измерениях, образующих комплексно сопряженную пару.
M 11 имеет два 5-мерных неприводимых представления над полем с 3 элементами, связанными с ограничениями 6-мерных представлений двойного покрытия M 12 . Они имеют наименьшую размерность среди любых точных линейных представлений M 11 над любым полем.
Максимальные подгруппы [ править ]
Существует 5 классов сопряженности максимальных подгрупп в M 11 :
- M 10 , заказ 720, одноточечный стабилизатор в представлении степени 11
- PSL (2,11), порядок 660, одноточечный стабилизатор в представлении степени 12
- М 9 : 2, заказ 144, стабилизатор 9 и 2 перегородки.
- S 5 , порядок 120, орбиты 5 и 6
- Стабилизатор блока в системе Штейнера S (4,5,11)
- Q : S 3 , порядок 48, орбиты 8 и 3
- Центратор четверного транспонирования
- Изоморфен GL (2,3).
Классы сопряженности [ править ]
Максимальный порядок любого элемента в M 11 - 11. Структуры цикла показаны для представлений как степени 11, так и 12.
| Заказ | Кол-во элементов | Степень 11 | Степень 12 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 = 1 | 1 = 1 | 1 11 · | 1 12 · | |
| 2 = 2 | 165 = 3 · 5 · 11 | 1 3 · 2 4 | 1 4 · 2 4 | |
| 3 = 3 | 440 = 2 3 · 5 · 11 | 1 2 · 3 3 | 1 3 · 3 3 | |
| 4 = 2 2 | 990 = 2 · 3 2 · 5 · 11 | 1 3 · 4 2 | 2 2 · 4 2 | |
| 5 = 5 | 1584 = 2 4 · 3 2 · 11 | 1 · 5 2 | 1 2 · 5 2 | |
| 6 = 2 · 3 | 1320 = 2 3 · 3 · 5 · 11 | 2 · 3 · 6 | 1 · 2 · 3 · 6 | |
| 8 = 2 3 | 990 = 2 · 3 2 · 5 · 11 | 1 · 2 · 8 | 4,8 | эквивалент мощности |
| 990 = 2 · 3 2 · 5 · 11 | 1 · 2 · 8 | 4,8 | ||
| 11 = 11 | 720 = 2 4 · 3 2 · 5 | 11 | 1,11 | эквивалент мощности |
| 720 = 2 4 · 3 2 · 5 | 11 | 1,11 |
Ссылки [ править ]
- Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок , Студенческие тексты Лондонского математического общества, 45 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-65378-7
- Кармайкл, Роберт Д. (1956) [1937], Введение в теорию групп конечного порядка , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-60300-1, Руководство по ремонту 0075938 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах» , в Пауэлле, МБ; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы , Труды учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0, Руководство по ремонту 0338152Перепечатано в Conway & Sloane (1999 , 267–298).
- Конвей, Джон Хортон ; Паркер, Ричард А .; Нортон, Саймон П .; Кертис, RT; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9, MR 0827219
- Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5, MR 0920369
- Кертис, RT (1984), «Система Штейнера S (5, 6, 12), группа Матье M₁₂ и« котенок » » , в Аткинсоне, Майкл Д. (ред.), Вычислительная теория групп. Труды симпозиума Лондонского математического общества, проходившего в Дареме 30 июля - 9 августа 1982 г. , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 353–358, ISBN 978-0-12-066270-8, Руководство по ремонту 0760669
- Кайперс, Ганс, Группы Матье и их геометрии (PDF)
- Диксон, Джон Д .; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок , Тексты для выпускников по математике, 163 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0731-3 , ISBN 978-0-387-94599-6, Руководство по ремонту 1409812
- Джилл, Ник; Хьюз, Сэм (2019), «Символ таблица резко 5-транзитивной подгруппе знакопеременной группы степени 12», Международный журнал теории групп , DOI : 10,22108 / IJGT.2019.115366.1531
- Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540-62778-4, Руководство по ремонту 1707296
- Хьюз, Сэм (2018), Теория представлений и характеров малых групп Матье (PDF)
- Матье, Эмиль (1861 г.), "Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs Quantités, sur la manière de les previous et sur les замен, qui les laissent неизменные" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 6 : 241–323
- Матья, Эмиль (1873), "Sur ла fonction Cinq фу транзитивная де 24 quantités" , Журнал де Mathématiques Pures и др Appliqué (на французском языке), 18 : 25-46, JFM 05.0088.01[ постоянная мертвая ссылка ]
- Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок через упаковку сфер до простых групп , Математические монографии Каруса, 21 , Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-023-7, Руководство по ремонту 0749038
- Витт, Эрнст (1938a), "über Steinersche Systeme", Abhandlungen AUS DEM Mathematischen семинар - дер - Universität Hamburg , 12 : 265-275, DOI : 10.1007 / BF02948948 , ISSN 0025-5858
- Витт, Эрнст (1938b), "Die 5-FACH transitiven Gruppen фон Матьё", Abhandlungen AUS DEM Mathematischen семинар - дер - Universität Hamburg , 12 : 256-264, DOI : 10.1007 / BF02948947
Внешние ссылки [ править ]
- MathWorld: Группы Матье
- Атлас представлений конечных групп: M 11
