Всякая ли конечная группа группа Галуа из расширения Галуа из рациональных чисел ?
В теории Галуа , в обратной задаче Галуа , касается ли или не каждая конечной группы выступает как группа Галуа некоторого расширения Галуа из рациональных чисел . Эта проблема, впервые поставленная в начале 19 века [1], до сих пор не решена.
Есть некоторые группы перестановок, для которых известны общие многочлены , которые определяют все алгебраические расширенияимея особую группу как группу Галуа. Эти группы включают все степени не выше 5 . Также известны группы, не имеющие общих многочленов, например циклическая группа порядка 8 .
В более общем смысле, пусть G - заданная конечная группа, а K - поле. Тогда вопрос заключается в следующем: существует ли расширение Галуа поля L / K такое , что группа Галуа расширений является изоморфной в G ? Говорят, что G реализуема над K, если такое поле L существует.
Частичные результаты
По конкретным случаям есть много подробной информации. Известно, что всякая конечная группа реализуема над любым функциональным полем от одной переменной над комплексными числами , А в более общем случае над функциональными полями в одной переменной над любым алгебраически замкнутым полем с характерным нулю. Игорь Шафаревич показал, что всякая конечная разрешимая группа реализуема над. [2] Также известно, что любая спорадическая группа , кроме, возможно, группы Матье M 23 , реализуема над. [3]
Давид Гильберт показал , что этот вопрос связан с рациональностью вопросом для G :
- Если K - любое расширение , на которой G действует как группа автоморфизмов, а инвариантное поле K G рационально над , то G реализуема над .
Здесь рациональное означает, что это чисто трансцендентное расширение, порожденный алгебраически независимым множеством. Этот критерий можно использовать, например, для того, чтобы показать, что все симметрические группы реализуемы.
По этому вопросу проведена большая детальная работа, которая в целом никак не решена. Часть этого основана на построении G геометрически как накрытия Галуа на проективной прямой : в алгебраических терминах, начиная с расширением поляот рациональных функций в неопределенном т . После этого можно применить теорему Гильберта о неприводимости для специализации t таким образом, чтобы сохранить группу Галуа.
Известно, что все группы перестановок степени 16 или меньше реализуемы над ; [4] группа PSL (2,16): 2 степени 17 не может быть. [5]
Все 13 неабелевых простых групп, меньших, чем PSL (2,25) (порядок 7800), как известно, реализуемы над . [6]
Простой пример: циклические группы
Используя классические результаты, можно явно построить многочлен, группа Галуа которого над является циклической группой Z / п Z для любого натурального п . Для этого выберите простое число p такое, что p ≡ 1 (mod n ) ; это возможно по теореме Дирихле . Пусть Q ( μ ) является круговое расширение изпорожденный μ , где μ - примитивный корень p -й степени из единицы ; группа Галуа группы Q ( μ ) / Q циклическая порядка p - 1 .
Поскольку n делит p - 1 , группа Галуа имеет циклическую подгруппу H порядка ( p - 1) / n . Из фундаментальной теоремы теории Галуа следует, что соответствующее фиксированное поле F = Q ( μ ) H имеет группу Галуа Z / n Z над. Взяв соответствующие суммы сопряженных к μ , следуя построению гауссовских периодов , можно найти элемент α из F, который порождает F над, и вычислить его минимальный многочлен.
Этот метод может быть распространен на все конечные абелевы группы , поскольку каждая такая группа появляется фактически как фактор группы Галуа некоторого кругового расширения группы. (Это утверждение не следует путать с теоремой Кронекера – Вебера , которая лежит значительно глубже.)
Рабочий пример: циклическая группа третьего порядка
Для n = 3 можно взять p = 7 . Тогда Gal ( Q ( μ ) / Q ) цикличен шестого порядка. Возьмем генератор η этой группы, который переводит μ в μ 3 . Нас интересует подгруппа H = {1, η 3 } второго порядка. Рассмотрим элемент α = μ + η 3 ( μ ) . По построению α фиксируется H и имеет только три сопряженных над:
- α = η 0 ( α ) = μ + μ 6 ,
- β = η 1 ( α ) = μ 3 + μ 4 ,
- γ = η 2 ( α ) = μ 2 + μ 5 .
Используя личность:
- 1 + μ + μ 2 + ⋯ + μ 6 = 0 ,
каждый обнаруживает, что
- α + β + γ = −1 ,
- αβ + βγ + γα = −2 ,
- αβγ = 1 .
Следовательно, α является корнем многочлена
- ( x - α ) ( x - β ) ( x - γ ) = x 3 + x 2 - 2 x - 1 ,
что, следовательно, имеет группу Галуа Z / 3 Z над.
Симметричные и знакопеременные группы
Гильберт показал, что все симметрические и знакопеременные группы представлены как группы Галуа многочленов с рациональными коэффициентами.
Многочлен x n + ax + b имеет дискриминант
Возьмем частный случай
- f ( x , s ) = x n - sx - s .
Подставив простое число для й в е ( х , S ) даешь многочлен ( так называемой специализацией по е ( х , S ) ) , что по критерию Эйзенштейн неприводит. Тогда f ( x , s ) должна быть неприводимой над. Кроме того, f ( x , s ) можно записать
а f ( x , 1/2) можно разложить на множители:
второй фактор которого неприводим (но не по критерию Эйзенштейна). Только обратный многочлен неприводим по критерию Эйзенштейна. Теперь мы показали , что группа Gal ( F ( х , ев ) / Q ( ы )) является дважды транзитивна .
Затем мы можем обнаружить, что эта группа Галуа имеет транспозицию. Используйте масштабирование (1 - n ) x = ny, чтобы получить
и с
мы приходим к:
- g ( y , t ) = y n - nty + ( n - 1) t
который может быть организован
- y n - y - ( n - 1) ( y - 1) + ( t - 1) (- ny + n - 1) .
Тогда g ( y , 1) имеет 1 в качестве двойного нуля, а остальные n - 2 нуля являются простыми, и подразумевается транспонирование в Gal ( f ( x , s ) / Q ( s )) . Любая конечная дважды транзитивная группа подстановок, содержащая транспозицию, является полной симметрической группой.
Тогда из теоремы Гильберта о неприводимости следует, что бесконечное множество рациональных чисел дает специализации f ( x , t ) , группы Галуа которой являются S n над рациональным полем. На самом деле этот набор рациональных чисел плотен в.
Дискриминант g ( y , t ) равен
и это вообще не идеальный квадрат.
Чередующиеся группы
Решения для чередующихся групп должны обрабатываться по-разному для нечетных и четных степеней.
Нечетная степень
Позволять
При этой замене дискриминант g ( y , t ) равен
который является полным квадратом, когда n нечетно.
Даже степень
Позволять:
При этой замене дискриминант g ( y , t ) равен:
который является полным квадратом, когда n четно.
Опять же, из теоремы Гильберта о неприводимости следует существование бесконечного множества специализаций, группы Галуа которых являются знакопеременными группами.
Жесткие группы
Предположим, что C 1 ,…, C n - классы сопряженности конечной группы G , а A - множество n -наборов ( g 1 ,…, g n ) группы G таких, что g i принадлежит C i и произведение g 1 … g n тривиально. Тогда называется жесткой , если оно не пусто, G действует транзитивно на нем путем конъюгации, и каждый элемент А порождает G .
Томпсон (1984) показал, что если конечная группа G имеет жесткое множество, то ее часто можно реализовать как группу Галуа над круговым расширением рациональных чисел. (Точнее, над круговым расширением рациональных чисел, порожденных значениями неприводимых характеров группы G на классах сопряженности C i .)
Это может быть использовано, чтобы показать, что многие конечные простые группы, включая группу монстров , являются группами Галуа расширений рациональных чисел. Группа монстров генерируется триадой элементов порядков 2 , 3 и 29 . Все такие триады сопряжены.
Прототипом жесткости является симметрическая группа S n , которая порождается n -циклом и транспозицией, произведением которой является ( n - 1) -цикл. Конструкция в предыдущем разделе использовала эти генераторы для установления группы Галуа многочлена.
Конструкция с эллиптической модульной функцией
Пусть n > 1 - любое целое число. Решетка Λ на комплексной плоскости с отношением периодов τ имеет подрешетку Λ ′ с отношением периодов nτ . Последняя решетка является одной из конечного набора подрешеток, переставляемых модулярной группой PSL (2, Z ) , которая основана на замене базиса Λ . Пусть J обозначает эллиптическую модульную функцию от Феликса Клейна . Определим многочлен φ n как произведение разностей ( X - j (Λ i )) по сопряженным подрешеткам. Как полином от X , φ n имеет коэффициенты, являющиеся полиномами надв j ( τ ) .
На сопряженных решетках модулярная группа действует как PGL (2, Z / n Z ) . Отсюда следует, что φ n имеет группу Галуа, изоморфную PGL (2, Z / n Z ) над.
Использование теоремы Гильберта о неприводимости дает бесконечный (и плотный) набор рациональных чисел, специализирующий φ n на многочлены с группой Галуа PGL (2, Z / n Z ) над. Группы PGL (2, Z / n Z ) включают бесконечно много неразрешимых групп.
Заметки
- ^ http://library.msri.org/books/Book45/files/book45.pdf
- ^ Игорь Р. Шафаревич, Проблема вложения для расщепляющих расширений , Докл. Акад. АН СССР 120 (1958), 1217-1219.
- ^ стр. 5 Jensen et al., 2002
- ^ http://galoisdb.math.upb.de/
- ^ http://galoisdb.math.upb.de/groups?deg=17
- ^ Малл и Matzat (1999), стр. 403-424
Рекомендации
- Александр М. Макбит, Расширения рациональных чисел с помощью группы Галуа PGL (2, Z n ) , Бюлл. Лондонская математика. Soc., 1 (1969), 332-338.
- Томпсон, Джон Г. (1984), "Некоторые конечные группы , которые выглядят как Gal L / K, где K ⊆ Q (μ п )", журнал алгебры , 89 (2): 437-499, DOI : 10.1016 / 0021- 8693 (84) 90228-X , Руководство по ремонту 0751155
- Гельмут Фёлькляйн, Группы как группы Галуа, Введение , Cambridge University Press, 1996.
- Серр, Жан-Пьер (1992). Разделы теории Галуа . Исследования по математике. 1 . Джонс и Бартлетт. ISBN 0-86720-210-6. Zbl 0746.12001 .
- Гюнтер Малле, Генрих Маца, обратная теория Галуа , Springer-Verlag, 1999, ISBN 3-540-62890-8 .
- Гюнтер Малле, Генрих Маца, Обратная теория Галуа , 2-е издание, Springer-Verlag, 2018.
- Александр Шмидт, Кей Вингберг, Теорема Шафаревича о разрешимых группах как группах Галуа ( см. ТакжеНойкирх, Юрген ; Шмидт, Александр; Вингберг, Кей (2000), Когомологии числовых полей , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , 323 , Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, Руководство по ремонту 1737196 , Zbl 0948.11001)
- Кристиан У. Йенсен, Арне Ледет и Норико Юи , Общие многочлены, конструктивные аспекты обратной задачи Галуа , Cambridge University Press, 2002.