Конвей группа Co 3

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый действие Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Бесплатная группа Модульные группы PSL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В области современной алгебры , известная как теория групп , то группа Conway является спорадической простой группой из порядка${\ displaystyle \ mathrm {Co} _ {3}}$

   2 ¹⁰  · 3 ⁷  · 5 ³  · 7  · 11  · 23

= 495766656000

≈ 5 × 10¹¹ .

История и свойства

${\ displaystyle \ mathrm {Co} _ {3}}$это одна из 26 спорадических групп , и была обнаружена Конвей  ( 1968 , 1969 ) в качестве группы автоморфизмов в Leech решетки крепления решетки вектор типа 3, при этом длина √ 6 . Таким образом, это подгруппа . Он изоморфен подгруппе в . Прямое произведение максимально .${\ displaystyle \ Lambda}$ C о 0 {\ displaystyle \ mathrm {Co} _ {0}} ${\ displaystyle \ mathrm {Co} _ {1}}$${\ displaystyle 2 \ times \ mathrm {Co} _ {3}}$${\ displaystyle \ mathrm {Co} _ {0}}$

Мультипликатором Шура и внешний автоморфизм группы являются тривиальными .

Представления

Co ₃ действует на единственной 23-мерной четной решетке определителя 4 без корней, заданной ортогональным дополнением вектора нормы 4 решетки Лича. Это дает 23-мерные представления над любым полем; над полями характеристики 2 или 3 это сводится к 22-мерному точному представлению.

Co ₃ имеет дважды транзитивное перестановочное представление в 276 точках.

( txt ) показал, что если конечная группа имеет абсолютно неприводимое точное рациональное представление размерности 23 и не имеет подгрупп индекса 23 или 24, то она содержится в любом или . harv error: no target: CITEREFtxt (help)${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathrm {Co} _{2}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \times \mathrm {Co} _{3}}$

Максимальные подгруппы

Некоторые максимальные подгруппы фиксируют или отражают двумерные подрешетки решетки Лича. Обычно эти плоскости определяют с помощью hkl треугольников : треугольников, в которых начало координат является вершиной, а ребра (разности вершин) являются векторами типов h , k и l .

Ларри Финкельштейн ( 1973 ) нашел 14 классов сопряженности максимальных подгрупп в следующих группах:${\displaystyle \mathrm {Co} _{3}}$

• МакЛ : 2 - МакЛ исправляет треугольник 2-2-3. В максимальную подгруппу также входят отражения треугольника. имеет дважды транзитивное перестановочное представление на 276 треугольниках типа 2-2-3, имеющих в качестве ребра вектор типа 3, фиксированный с помощью .${\displaystyle \mathrm {Co} _{3}}$${\displaystyle \mathrm {Co} _{3}}$
• HS - фиксирует треугольник 2-3-3.
• У ₄ (3) .2 ²
• М 23 - фиксирует 2-3-4 треугольник.
• 3 ⁵ : (2 × M 11 ) - фиксирует или отражает треугольник 3-3-3.
• 2.Sp ₆ (2) - централизатор инволюционного класса 2A (трасса 8), который перемещает 240 из 276 треугольников 2-2-3 типа.
• U ₃ (5): S ₃
• 3 ^{1 + 4} : 4С ₆
• 2 ⁴ .A ₈
• PSL (3,4) :( 2 × S ₃ )
• 2 × M 12 - централизатор инволюционного класса 2B (след 0), который перемещает 264 из 276 треугольников 2-2-3 типа
• [2 ¹⁰ .3 ³ ]
• S ₃ × PSL (2,8): 3 - нормализатор 3-подгруппы, порожденный элементом класса 3C (трассировка 0)
• А ₄ × S ₅

Классы сопряженности

Показаны следы матриц в стандартном 24-мерном представлении Co ₃ . ^[1] Названия классов сопряженности взяты из Атласа представлений конечных групп. ^{[2] [3]} Перечисленные циклические структуры действуют на 276 треугольников 2-2-3, которые имеют общую сторону фиксированного типа 3. ^[4]

Обобщенный чудовищный самогон

По аналогии с чудовищным самогонным светом для монстра M , для Co ₃ , в соответствующей серии Маккея-Томпсона можно установить постоянный член a (0) = 24 ( OEIS :  A097340 ),${\displaystyle T_{4A}(\tau )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}j_{4A}(\tau )&=T_{4A}(\tau )+24\\&={\Big (}{\tfrac {\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )\,\eta (4\tau )}}{\Big )}^{24}\\&={\Big (}{\big (}{\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (4\tau )}}{\big )}^{4}+4^{2}{\big (}{\tfrac {\eta (4\tau )}{\eta (\tau )}}{\big )}^{4}{\Big )}^{2}\\&={\frac {1}{q}}+24+276q+2048q^{2}+11202q^{3}+49152q^{4}+\dots \end{aligned}}}$

и η ( τ ) - эта функция Дедекинда .

использованная литература

• Конвей, Джон Хортон (1968), «Совершенная группа порядка 8 315 553 613 086 720 000 и спорадические простые группы», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 61 (2): 398–400, Bibcode : 1968PNAS .. .61..398C , DOI : 10.1073 / pnas.61.2.398 , МР  0237634 , КУП  225171 , PMID  16591697
• Конуэй, Джон Хортон (1969), "группа порядка 8,315,553,613,086,720,000", Бюллетень Лондонского математического общества , 1 : 79-88, DOI : 10,1112 / БЛМ / 1.1.79 , ISSN  0024-6093 , MR  0248216
• Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах», в Пауэлле, МБ; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы , Труды учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0, Руководство по ремонту  0338152Перепечатано в Conway & Sloane (1999 , 267–298).
• Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5, MR  0920369
• Фейт, Вальтер (1974), "Об интегральных представлений конечных групп", Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 29 (4): 633-683, DOI : 10,1112 / ПНИЛ / s3-29.4.633 , ISSN  0024- 6115 , MR  0374248
• Финкельштейн, Ларри (1973), "Максимальные подгруппы группы Конвея C₃ и группы Маклафлина", журнал Алгебра , 25 : 58-89, DOI : 10,1016 / 0021-8693 (73) 90075-6 , ISSN  0021-8693 , MR  0346046
• Томпсон, Томас М. (1983), От исправляющих ошибки кодов через упаковку сфер до простых групп , Математические монографии Каруса, 21 , Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-023-7, Руководство по ремонту  0749038
• Конвей, Джон Хортон ; Паркер, Ричард А .; Нортон, Саймон П .; Кертис, RT; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9, MR  0827219
• Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / 978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540-62778-4, Руководство по ремонту  1707296
• Уилсон, Роберт А. (2009), Конечные простые группы. , Тексты для выпускников по математике 251, 251 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, DOI : 10.1007 / 978-1-84800-988-2 , ISBN 978-1-84800-987-5, Zbl  1203,20012

внешняя ссылка

• MathWorld: Группы Конвея
• Атлас представлений конечных групп: Co 3 версия 2
• Атлас представлений конечных групп: Co 3 версия 3