В области современной алгебры , известная как теория групп , то группа Матьи M 12 является спорадической простой группой из порядка
- 12 · 11 · 10 · 9 · 8 = 2 6 · 3 3 · 5 · 11 = 95040.
История и свойства
M 12 - одна из 26 спорадических групп, введенная Матье ( 1861 , 1873 ). Это четко 5-транзитивная группа перестановок на 12 объектах. Burgoyne & Fong (1968) показали, что множитель Шура M 12 имеет порядок 2 (исправляя ошибку в ( Burgoyne & Fong 1966 ), где они ошибочно утверждали, что он имеет порядок 1).
Двойное покрытие было неявно обнаружено ранее Кокстером (1958) , который показал, что M 12 является подгруппой проективной линейной группы размерности 6 над конечным полем с 3 элементами.
Группа внешних автоморфизмов имеет порядок 2, а полная группа автоморфизмов M 12 .2 содержится в M 24 как стабилизатор пары дополнительных додекад из 24 точек, причем внешние автоморфизмы M 12 меняют местами две додекады.
Представления
Фробениус (1904) вычислил сложную таблицу символов M 12 .
M 12 имеет строго 5-транзитивное перестановочное представление на 12 точках, стабилизатором которых является группа Матье M 11 . Отождествляя 12 точек с проективной линией над полем из 11 элементов, M 12 порождается перестановками PSL 2 (11) вместе с перестановкой (2,10) (3,4) (5,9) (6, 7). Это перестановочное представление сохраняет систему Штейнера S (5,6,12) из 132 специальных гексад, так что каждая пентада содержится ровно в 1 специальной гексаде, а гексады являются носителями кодовых слов веса 6 расширенного троичного кода Голея . Фактически M 12 имеет два неэквивалентных действия на 12 точках, замененных внешним автоморфизмом; они аналогичны двум неэквивалентным действиям симметрической группы S 6 на 6 точек.
Двойное покрытие 2.M 12 является группой автоморфизмов расширенного тернарного кода Голея, кода размерности 6 длиной 12 над полем порядка 3 минимального веса 6. В частности, двойное покрытие имеет неприводимое 6-мерное представление над полем. из 3-х элементов.
Двойное покрытие 2.M 12 - это группа автоморфизмов любой матрицы Адамара 12 × 12 .
М 12 централизует элемент порядка 11 в группе монстра , в результате чего он действует естественным образом на вершине алгебры над полем с 11 элементами, учитывая , как Tate когомологий из алгебры монстра вершины .
Максимальные подгруппы
Существует 11 классов сопряженности максимальных подгрупп группы M 12 , 6, входящих в автоморфные пары, а именно:
- M 11 , порядок 7920, индекс 12. Есть два класса максимальных подгрупп, обмениваемых внешним автоморфизмом. Одна - это подгруппа, фиксирующая точку с орбитами размера 1 и 11, а другая действует транзитивно на 12 точках.
- S 6 : 2 = M 10 .2, группа внешних автоморфизмов симметрической группы S 6 порядка 1440, индекс 66. Есть два класса максимальных подгрупп, обмениваемых внешним автоморфизмом. Одна импримитивная и транзитивная, действующая с 2 блоками из 6, а другая - подгруппа, фиксирующая пару точек и имеющая орбиты размера 2 и 10.
- PSL (2,11), порядок 660, индекс 144, дважды транзитивный по 12 точкам
- 3 2 : (2.S 4 ), порядок 432. Есть два класса максимальных подгрупп, обмениваемых внешним автоморфизмом. Один действует с орбитами 3 и 9, а другой импримитивен на 4 наборах по 3.
- Изоморфна аффинной группе на пространстве C 3 x C 3 .
- S 5 x 2, порядок 240, дважды импримитивный на 6 сетов по 2 балла
- Центратор шестикратного транспонирования
- Q : S 4 , порядок 192, орбиты 4 и 8.
- Центратор четверного транспонирования
- 4 2 : (2 x S 3 ), порядок 192, импримитив на 3 подхода по 4 шт.
- A 4 x S 3 , порядок 72, дважды импримитивный, 4 набора по 3 балла.
Классы сопряженности
Форма цикла элемента и его сопряженного при внешнем автоморфизме связаны следующим образом: объединение двух форм цикла сбалансировано, другими словами, инвариантно при изменении каждого n -цикла на цикл N / n для некоторого целого числа N .
Заказ | Число | Централизатор | Циклы | Слияние |
---|---|---|---|---|
1 | 1 | 95040 | 1 12 | |
2 | 396 | 240 | 2 6 | |
2 | 495 | 192 | 1 4 2 4 | |
3 | 1760 | 54 | 1 3 3 3 | |
3 | 2640 | 36 | 3 4 | |
4 | 2970 | 32 | 2 2 4 2 | Слитый под внешним автоморфизмом |
4 | 2970 | 32 | 1 4 4 2 | |
5 | 9504 | 10 | 1 2 5 2 | |
6 | 7920 | 12 | 6 2 | |
6 | 15840 | 6 | 1 2 3 6 | |
8 | 11880 | 8 | 1 2 2 8 | Слитый под внешним автоморфизмом |
8 | 11880 | 8 | 4 8 | |
10 | 9504 | 10 | 2 10 | |
11 | 8640 | 11 | 1 11 | Слитый под внешним автоморфизмом |
11 | 8640 | 11 | 1 11 |
Рекомендации
- Адем, Алехандро ; Магиннис, Джон; Милграм, Р. Джеймс (1991), "Геометрия и когомологии группы Матье M₁₂", Журнал алгебры , 139 (1): 90–133, DOI : 10.1016 / 0021-8693 (91) 90285-G , hdl : 2027.42 / 29344 , ISSN 0021-8693 , MR 1106342
- Burgoyne, N .; Фонг, Пол (1966), "Шура умножители групп Матье" , Нагоя математический журнал , 27 (2): 733-745, DOI : 10,1017 / S0027763000026519 , ISSN 0027-7630 , МР 0197542
- Burgoyne, N .; Фонг, Пол (1968), "Поправка к: "Шура мультипликаторов групп Матье " " , Nagoya математический журнал , 31 : 297-304, DOI : 10,1017 / S0027763000012782 , ISSN 0027-7630 , MR 0219626
- Кэмерон, Питер Дж. (1999), Группы перестановок , Студенческие тексты Лондонского математического общества, 45 , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-65378-7
- Кармайкл, Роберт Д. (1956) [1937], Введение в теорию групп конечного порядка , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-60300-1, Руководство по ремонту 0075938
- Конвей, Джон Хортон (1971), «Три лекции об исключительных группах» , в Пауэлле, МБ; Хигман, Грэм (ред.), Конечные простые группы , Труды учебной конференции, организованной Лондонским математическим обществом (Институтом перспективных исследований НАТО), Оксфорд, сентябрь 1969 г., Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 215–247, ISBN 978-0-12-563850-0, Руководство по ремонту 0338152Перепечатано в Conway & Sloane (1999 , 267–298).
- Конвей, Джон Хортон ; Паркер, Ричард А .; Нортон, Саймон П .; Кертис, RT; Уилсон, Роберт А. (1985), Атлас конечных групп , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-853199-9, MR 0827219
- Конвей, Джон Хортон ; Слоан, Нил Дж. А. (1999), Сферические упаковки, решетки и группы , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 290 (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4757-2016-7 , ISBN 978-0-387-98585-5, MR 0920369
- Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд (1958), «Двенадцать точек в PG (5,3) с 95040 самотрансформациями», Труды Лондонского королевского общества. Серия А: математическое, физико-технических наук , 247 (1 250): 279-293, DOI : 10.1098 / rspa.1958.0184 , ISSN 0962-8444 , JSTOR 100667 , MR 0120289 , S2CID 121676627
- Кертис, RT (1984), "Система Штейнера S (5, 6, 12), группа Матье M₁₂ и" котенок " " , в Аткинсоне, Майкл Д. (ред.), Вычислительная теория групп. Труды симпозиума Лондонского математического общества, проходившего в Дареме 30 июля - 9 августа 1982 г. , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 353–358, ISBN 978-0-12-066270-8, Руководство по ремонту 0760669
- Кайперс, Ганс, Группы Матье и их геометрии (PDF)
- Диксон, Джон Д .; Мортимер, Брайан (1996), Группы перестановок , Тексты для выпускников по математике, 163 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0731-3 , ISBN 978-0-387-94599-6, Руководство по ремонту 1409812
- Фробениус Фердинанд Георг (1904), "умереть Über Charaktere дер mehrfach transitiven Gruppen", Sitzungsberichte дер Königlich Preussischen Akademie дер Wissenschaften (на немецком языке ), Königliche Akademie дер Wissenschaften, Берлин, 16 : 558-571, перепечатано в III томе его собрания работает.
- Джилл, Ник; Хьюз, Сэм (2019), «Символ таблица резко 5-транзитивной подгруппе знакопеременной группы степени 12», Международный журнал теории групп , DOI : 10,22108 / IJGT.2019.115366.1531 , S2CID 119151614
- Грисс, Роберт Л. младший (1998), Двенадцать спорадических групп , Монографии Спрингера по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-3-662-03516-0 , ISBN 978-3-540-62778-4, Руководство по ремонту 1707296
- Хьюз, Сэм (2018), Теория представлений и характеров малых групп Матье (PDF)
- Матье, Эмиль (1861 г.), "Mémoire sur l'étude des fonctions de plusieurs Quantités, sur la manière de les previous et sur les замен, qui les laissent неизменные" , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées , 6 : 241–323
- Матья, Эмиль (1873), "Sur ла fonction Cinq фу транзитивная де 24 quantités" , Журнал де Mathématiques Pures и др Appliqué (на французском языке), 18 : 25-46, JFM 05.0088.01[ постоянная мертвая ссылка ]
- Томпсон, Томас М. (1983), От кодов с исправлением ошибок через упаковку сфер до простых групп , Математические монографии Каруса, 21 , Математическая ассоциация Америки , ISBN 978-0-88385-023-7, Руководство по ремонту 0749038
- Витт, Эрнст (1938a), "über Steinersche Systeme", Abhandlungen AUS DEM Mathematischen семинар - дер - Universität Hamburg , 12 : 265-275, DOI : 10.1007 / BF02948948 , ISSN 0025-5858 , S2CID 123106337
- Витт, Эрнст (1938b), "Die 5-FACH transitiven Gruppen фон Матьё", Abhandlungen AUS DEM Mathematischen семинар - дер - Universität Hamburg , 12 : 256-264, DOI : 10.1007 / BF02948947 , S2CID 123658601
Внешние ссылки
- MathWorld: Группы Матье
- Атлас представлений конечных групп: M 12