Группа когомологий Тейта

В математике , Tate группа когомологий являются слегка модифицированной формой обычных групп когомологий конечной группы, сочетающей группы гомологии и когомологий в одну последовательности. Они были введены Джоном Тейтом  ( 1952 , стр. 297) и используются в теории полей классов .

Определение [ править ]

Если G является конечной группой и G - модуль , то существует естественное отображение Н от чтобы принимать представительный а , чтобы (сумму по всему G -conjugates из ). В Tate группы когомологий определяются${\ displaystyle H_ {0} (G, A)}$${\ displaystyle H ^ {0} (G, A)}$${\ displaystyle \ sum _ {g \ in G} ga}$ ${\ displaystyle {\ hat {H}} ^ {n} (G, A)}$

• ${\ displaystyle {\ hat {H}} ^ {n} (G, A) = H ^ {n} (G, A)}$для ,${\ Displaystyle п \ geq 1}$
• ${\ displaystyle {\ hat {H}} ^ {0} (G, A) = \ operatorname {coker} N =}$частное по нормам элементов A ,${\ displaystyle H ^ {0} (G, A)}$
• ${\ displaystyle {\ hat {H}} ^ {- 1} (G, A) = \ ker N =}$отношение элементов нормы 0 из A по главным элементам из A ,
• ${\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)=H_{-n-1}(G,A)}$для .${\displaystyle n\leq -2}$

Свойства [ править ]

Если

${\displaystyle 0\longrightarrow A\longrightarrow B\longrightarrow C\longrightarrow 0}$

является короткой точной последовательностью G -модулей, то мы получаем обычную длинную точную последовательность групп когомологий Тейта:

${\displaystyle \cdots \longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,A)\longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,B)\longrightarrow {\hat {H}}^{n}(G,C)\longrightarrow {\hat {H}}^{n+1}(G,A)\longrightarrow {\hat {H}}^{n+1}(G,B)\cdots }$

Если A - индуцированный G- модуль, то все группы когомологий Тейта A равны нулю.

Нулевая группа когомологий Тейта алгебры A есть

(Неподвижные точки G на A ) / (Очевидные неподвижные точки G, действующие на A )

где под "очевидной" неподвижной точкой мы понимаем точки формы . Другими словами, нулевая группа когомологий в некотором смысле описывает неочевидные неподвижные точки G действует на А .${\displaystyle \sum ga}$

Группы когомологий Тейта характеризуются тремя указанными выше свойствами.

Теорема Тэйта [ править ]

Теорема Тейта ( Tate 1952 ) дает условия, при которых умножение на класс когомологий является изоморфизмом между группами когомологий. Есть несколько немного разных его версий; версия, которая особенно удобна для теории полей классов, выглядит следующим образом:

Предположим, что A - модуль над конечной группой G и a - элемент группы , такой, что для любой подгруппы E группы G${\displaystyle H^{2}(G,A)}$

• ${\displaystyle H^{1}(E,A)}$ тривиально, и
• ${\displaystyle H^{2}(E,A)}$порождается , которая имеет порядок Е . Тогда произведение чашки с a является изоморфизмом${\displaystyle \operatorname {Res} (a)}$
• ${\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,\mathbb {Z} )\longrightarrow {\hat {H}}^{n+2}(G,A)}$

для всех n ; другими словами, градуированные когомологии Тейта алгебры A изоморфны когомологиям Тейта с целыми коэффициентами, степень которых сдвинута на 2.

Когомологии Тейта-Фаррелла [ править ]

Ф. Томас Фаррелл распространил группы когомологий Тейта на случай всех групп G конечной виртуальной когомологической размерности . В теории Фаррелла, группы изоморфны обычные группы когомологий , когда п больше , чем виртуальная когомологическая размерность группы G . Конечные группы имеют виртуальную когомологическую размерность 0, и в этом случае группы когомологий Фаррелла такие же, как у Тейта.${\displaystyle {\hat {H}}^{n}(G,A)}$

См. Также [ править ]

• Фактор Herbrand
• Формирование класса

Ссылки [ править ]

• MF Atiyah и CTC Wall , "Когомологии групп", в алгебраической теории чисел, автор JWS Cassels, A. Frohlich ISBN  0-12-163251-2 , глава IV. См. Раздел 6.
• Браун, Кеннет С. (1982). Когомологии групп . Тексты для выпускников по математике. 87 . Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90688-6. Руководство по ремонту  0672956 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Фаррелл, Ф. Томас (1977). «Расширение когомологий тэйта на класс бесконечных групп». Журнал чистой и прикладной алгебры . 10 (2): 153–161. DOI : 10.1016 / 0022-4049 (77) 90018-4 . Руководство по ремонту  0470103 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Тэйт, Джон (1952), "Высшие когомологии теории полей классов", Анналы математики , 2, 56 : 294-297, DOI : 10,2307 / 1969801 , JSTOR  1969801 , МР  0049950 CS1 maint: discouraged parameter (link)