В математике , то фактор Herbrand является фактором заказов когомологий групп в циклической группе . Его изобрел Жак Эрбранд . Он имеет важное приложение в теории поля классов .
Определение
Если G - конечная циклическая группа, действующая на G -модуле A , то группы когомологий H n ( G , A ) имеют период 2 при n ≥1; другими словами
- H n ( G , A ) = H n +2 ( G , A ),
изоморфизм , индуцированный чашки продукта с генератором H 2 ( G , Z ). (Если вместо этого мы используем группы когомологий Тейта, то периодичность продолжается до n = 0.)
Модуль Эрбрана - это A, для которого группы когомологий конечны. В этом случае фактор Эрбрана h ( G , A ) определяется как фактор
- h ( G , A ) = | H 2 ( G , A ) | / | H 1 ( G , A ) |
порядка четных и нечетных групп когомологий.
Альтернативное определение
Фактор может быть определен для пары эндоморфизмов в качестве абелевой группы , е и г , которые удовлетворяют условию FG = гс = 0. Их Эрбран фактор д ( е , г ) определяются как
если два индекса конечны. Если G - циклическая группа с образующей γ, действующей на абелеву группу A , то мы восстанавливаем предыдущее определение, взяв f = 1 - γ и g = 1 + γ + γ 2 + ....
Характеристики
- Фактор Эрбрана мультипликативен на коротких точных последовательностях . [1] Другими словами, если
- 0 → А → В → С → 0
является точным, и любые два частных определены, то же самое и третье и [2]
- h ( G , B ) = h ( G , A ) h ( G , C )
- Если A конечно, то h ( G , A ) = 1. [2]
- Поскольку A является подмодулем G -модуля B конечного индекса, если один фактор определен, то также определяется другой и они равны: [1] в более общем смысле, если существует G -морфизм A → B с конечным ядром и cokernel то же самое. [2]
- Если Z - целые числа с тривиальным действием G , то h ( G , Z ) = | G |
- Если A конечно порожденный G -модуль, то фактор Эрбрана h ( A ) зависит только от комплексного G -модуля C ⊗ A (и поэтому может быть прочитан из характера этого комплексного представления G ).
Эти свойства означают, что фактор Эрбранда обычно относительно легко вычислить и часто намного проще вычислить, чем порядки любой из отдельных групп когомологий.
Смотрите также
Заметки
Рекомендации
- Atiyah, MF ; Уолл, СТС (1967). «Когомологии групп». В Касселсе, JWS ; Фрёлих, Альбрехт (ред.). Алгебраическая теория чисел . Академическая пресса. Zbl 0153.07403 . См. Раздел 8.
- Артин, Эмиль ; Тейт, Джон (2009). Теория поля классов . AMS Челси. п. 5. ISBN 0-8218-4426-1. Zbl 1179.11040 .
- Коэн, Анри (2007). Теория чисел - Том I: Инструменты и диофантовы уравнения . Тексты для выпускников по математике . 239 . Springer-Verlag . С. 242–248. ISBN 978-0-387-49922-2. Zbl 1119.11001 .
- Януш, Джеральд Дж. (1973). Поля алгебраических чисел . Чистая и прикладная математика. 55 . Академическая пресса. п. 142. Zbl 0307.12001 .
- Кох, Гельмут (1997). Алгебраическая теория чисел . Энцикл. Математика. Sci. 62 (2-е изд. 1-го изд.). Springer-Verlag . С. 120–121. ISBN 3-540-63003-1. Zbl 0819.11044 .
- Серр, Жан-Пьер (1979). Местные поля . Тексты для выпускников по математике. 67 . Перевод Гринберга, Марвин Джей . Springer-Verlag . ISBN 0-387-90424-7. Zbl 0423.12016 .