В математической области абстрактной алгебры изотопия - это отношение эквивалентности, используемое для классификации алгебраического понятия петли .
Изотопия для петель и квазигрупп была введена Альбертом ( 1943 ) на основе его немного более раннего определения изотопии для алгебр , которое, в свою очередь, было вдохновлено работой Стинрода.
Изотопия квазигрупп [ править ]
Каждая квазигруппа изотопна петле.
Позвольте и быть квазигруппами . Квазигруппой Гомотопический из Q в Р есть тройка ( α , β , γ ) отображений из Q в Р такой , что
для всех х , у в Q . Гомоморфизм квазигрупп - это просто гомотопия, для которой три отображения равны.
Изотопия гомотопия , для которой каждая из трех карт ( α , β , гамма ) является взаимно однозначное соответствие . Две квазигруппы изотопны, если между ними существует изотопия. В терминах латинских квадратов изотопия ( α , β , γ ) задается перестановкой строк α , перестановкой столбцов β и перестановкой базового набора элементов γ .
Autotopy изотопия от квазигруппы к себе. Множество всех автотопий квазигруппы образуют группу с группой автоморфизмов в качестве подгруппы.
Главная Изотопия изотопия , для которых γ является тождественным отображением на Q . В этом случае базовые наборы квазигрупп должны быть одинаковыми, но умножения могут отличаться.
Изотопия петель [ править ]
Позвольте и быть петлями и пусть быть изотопией. Тогда это произведение основной изотопии из и и изоморфизма между и . Действительно, положить , и определить операцию * с помощью .
Пусть и быть петли и пусть е будет нейтральным элементом из . Пусть основная изотопия от до . Тогда и где и .
Петля L называется G-петлей, если она изоморфна всем своим петлевым изотопам.
Псевдоавтоморфизмы петель [ править ]
Пусть Ь петля и с элементом L . Биекция α из L называется правый псевдо-автоморфизм из L с компаньоном элементом с , если для всех х , у тождества
держит. Аналогично определяются левые псевдоавтоморфизмы.
Универсальные свойства [ править ]
Мы говорим , что свойство цикла P является универсальным , если он Изотопия инвариант, то есть Р имеет место для петли L тогда и только тогда , когда P имеет место для всех изотопов петлевых L . Очевидно, что достаточно проверить , если P имеет место для всех основных изотопов L .
Например, так как изотопы коммутативной петли не обязательно должны быть коммутативными, коммутативности является не универсальным. Однако ассоциативность и абелева группа - универсальные свойства. Фактически, каждая группа представляет собой G-петлю.
Геометрическая интерпретация изотопии [ править ]
Для петли L можно определить геометрическую структуру инцидентности, называемую 3-сеткой . И наоборот, после фиксации начала координат и порядка классов линий 3-сеть порождает цикл. Выбор другого источника или замена классов линий может привести к неизоморфным циклам координат. Однако координатные петли всегда изотопны. Другими словами, две петли изотопны тогда и только тогда, когда они эквивалентны с геометрической точки зрения .
Словарь между алгебраическими и геометрическими понятиями выглядит следующим образом
- Группа автотопизма петли соответствует сохраняющим групповое направление коллинеациям 3-сети.
- Псевдоавтоморфизмы соответствуют коллинеациям, фиксирующим две оси системы координат.
- Набор сопутствующих элементов - это орбита стабилизатора оси в группе коллинеации.
- Цикл является G-петлей тогда и только тогда, когда группа коллинеаций действует транзитивно на множестве точек 3-сети.
- Свойство P универсально тогда и только тогда, когда оно не зависит от выбора начала координат.
См. Также [ править ]
Ссылки [ править ]
