Координаты Якоби

Координаты Якоби для задачи двух тел ; Координаты Якоби есть и с . ^[1]${\ displaystyle {\ boldsymbol {R}} = {\ frac {m_ {1}} {M}} {\ boldsymbol {x}} _ {1} + {\ frac {m_ {2}} {M}} { \ boldsymbol {x}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {r}} = {\ boldsymbol {x}} _ {1} - {\ boldsymbol {x}} _ {2}}$${\displaystyle M=m_{1}+m_{2}}$

Возможный набор координат Якоби для задачи четырех тел; координаты Якоби г ₁ , г ₂ , г ₃ и центр масс - R . См. Cornille. ^[2]

В теории систем многих частиц координаты Якоби часто используются для упрощения математической формулировки. Эти координаты особенно распространены при лечении многоатомных молекул и химических реакций , ^[3] и в небесной механике . ^[4] Алгоритм генерации координат Якоби для N тел может быть основан на двоичных деревьях . ^[5] На словах алгоритм описывается следующим образом: ^[5]

Пусть m _j и m _k - массы двух тел, которые заменяются новым телом с виртуальной массой M = m _j + m _k . Координаты положения x _j и x _k заменяются их относительным положением r _jk = x _j  -  x _k и вектором их центра масс R _jk = ( m _j q _j + m _k q _k ) / ( m _j + м _к ). Узел в двоичном дереве, соответствующий виртуальному телу, имеет m _j как его правый дочерний элемент и m _k как его левый дочерний элемент. Порядок дочерних элементов указывает относительные точки координат от x _k до x _j . Повторите вышеуказанный шаг для N  - 1 тел, то есть N  - 2 исходных тел плюс новое виртуальное тело.

Для задачи N- тела результат: ^[2]

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{j}={\frac {1}{m_{0j}}}\sum _{k=1}^{j}m_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}\ -\ {\boldsymbol {x}}_{j+1}\ ,\quad j\in \{1,2,\dots ,N-1\}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{N}={\frac {1}{m_{0N}}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}{\boldsymbol {x}}_{k}\ ,}$

с

${\displaystyle m_{0j}=\sum _{k=1}^{j}\ m_{k}\ .}$

Вектор - это центр масс всех тел:${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{N}}$

Таким образом, в результате остается система из N -1 трансляционно-инвариантных координат и координаты центра масс , полученная в результате итеративного сокращения систем двух тел в системе многих тел.${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {r}}_{N-1}}$${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{N}}$

С этой заменой координат связан якобиан, равный .${\displaystyle 1}$

Если кто-то интересуется вычислением оператора свободной энергии в этих координатах, мы получаем

${\displaystyle H_{0}=-\sum _{j=1}^{N}{\frac {1}{2m_{j}}}\,\partial _{{\boldsymbol {x}}_{j}}^{2}=-{\frac {1}{2m_{0N}}}\,\partial _{{\boldsymbol {r}}_{N}}^{2}\!-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{N-1}\!\left({\frac {1}{m_{j+1}}}+{\frac {1}{m_{0j}}}\right)\partial _{{\boldsymbol {r}}_{j}}^{2}}$

В расчетах может пригодиться следующее тождество

${\displaystyle \sum _{k=j+1}^{N}{\frac {m_{k}}{m_{0k}m_{0k-1}}}={\frac {1}{m_{0j}}}-{\frac {1}{m_{0N}}}}$.

Ссылки [ править ]