В механике жидкости , теорема минимальной энергии Кельвина (названный в честь Уильяма Томсона, 1 - й барон Кельвин , который опубликовал его в 1849 году [1] ) утверждает , что установившееся безвихревое движение несжимаемой жидкости занимающего односвязную область имеет меньше кинетическую энергию , чем любое другое движение с та же нормальная составляющая скорости на границе (и, если область простирается на бесконечность, с нулевыми значениями там) . [2] [3] [4] [5]
Математическое доказательство
Позволять - поле скоростей несжимаемой безвихревой жидкости и быть движением любой другой несжимаемой жидкости с той же нормальной составляющей скорости на границе области, где - единичный вектор ограничивающей поверхности (и, если область простирается до бесконечности, там). Тогда разница между кинетической энергией определяется выражением
можно переставить, чтобы дать
С является безвихревым, а область односвязной, существует однозначный потенциал скорости , т. е.. Используя это, второй интеграл в приведенном выше уравнении можно записать как
Второй интеграл тождественно равен нулю для установившейся несжимаемой жидкости, т. Е. . Применяя теорему Гаусса для первого интеграла, находим
где поверхностный интеграл равен нулю, поскольку нормальные составляющие скоростей там равны. Таким образом, можно сделать вывод
или другими словами, , где равенство выполняется, только если , тем самым доказывая теорему.
Рекомендации
- Перейти ↑ Thomson, W. (1849). Заметки по гидродинамике. V. О vis-viva движущейся жидкости. Camb. Дубл. Математика. J, 4, 90-94.
- ^ Кельвина, WTB, и Тэйт, PG (1867). Трактат по натурфилософии (т. 1). Кларедон Пресс.
- ^ Лэмб, Х. (1932). Гидродинамика. Пресса Кембриджского университета.
- Перейти ↑ Batchelor, GK (2000). Введение в гидродинамику. Пресса Кембриджского университета.
- ^ Truesdell, C. (1954). Кинематика завихренности (Том 954). Блумингтон: Издательство Индианского университета.