Теорема расходимости

В векторном исчислении , то теорема дивергенции , также известная как теорема Гаусса или теоремы Остроградских в , ^[1] является теоремой , которая связывает поток из более векторного поля через замкнутую поверхность к дивергенции поля в объеме прилагаемого.

Точнее, теорема о дивергенции утверждает, что поверхностный интеграл векторного поля над замкнутой поверхностью, который называется потоком через поверхность, равен объемному интегралу от расходимости по области внутри поверхности. Интуитивно он утверждает, что сумма всех источников поля в регионе (со стоками, рассматриваемыми как отрицательные источники) дает чистый поток из региона .

Теорема о расходимости - важный результат для математической физики и инженерии , особенно в электростатике и гидродинамике . В этих областях он обычно применяется в трех измерениях. Однако он распространяется на любое количество измерений. В одном измерении это эквивалентно интегрированию по частям . В двух измерениях это эквивалентно теореме Грина .

Объяснение использования потока жидкости [ править ]

Векторные поля часто иллюстрируются на примере скорости поля жидкости , такие как газ или жидкость. Движущаяся жидкость имеет скорость - скорость и направление - в каждой точке, которую можно представить вектором , так что скорость жидкости образует векторное поле. Рассмотрим воображаемую замкнутую поверхность S внутри тела жидкости, заключающую в себе объем жидкости. Поток жидкость из объема равен объемная скорость перехода жидкости этой поверхности, то есть поверхностный интеграл скорости по поверхности.

Поскольку жидкости несжимаемы, количество жидкости внутри замкнутого объема постоянно; если внутри объема нет источников или стоков, то поток жидкости из S равен нулю. Если жидкость движется, она может втекать в объем в одних точках на поверхности S и выходить из объема в других точках, но количества, втекающие и выходящие в любой момент, равны, поэтому чистый поток жидкости из объем равен нулю.

Однако, если источник жидкости находится внутри закрытой поверхности, такой как труба, по которой вводится жидкость, дополнительная жидкость будет оказывать давление на окружающую жидкость, вызывая поток наружу во всех направлениях. Это приведет к чистым наружу поток через поверхность S . Поток наружу через S равен объемному расходу жидкости в S из трубы. Точно так же, если внутри S имеется слив или слив , например труба, по которой сливается жидкость, внешнее давление жидкости будет вызывать скорость жидкости, направленную внутрь к месту слива. Объемный расход жидкости внутрь через поверхность S равняется скорости жидкости, удаляемой мойкой.

Если внутри S имеется несколько источников и стоков жидкости , поток через поверхность можно рассчитать, сложив объемный расход жидкости, добавляемой источниками, и вычитая скорость жидкости, сливаемой стоками. Объемный расход жидкости через источник или сток (поток через сток имеет отрицательный знак) равен дивергенции поля скорости в устье трубы, поэтому складывается (интегрируется) дивергенция жидкости на всем протяжении объем приложен S равна объемной скорости потока через S . Это теорема о расходимости. ^[2]

Теорема о дивергенции используется в любом законе сохранения, который гласит, что общий объем всех стоков и источников, то есть объемный интеграл дивергенции, равен чистому потоку через границу объема. ^[3]

Математическое утверждение [ править ]

Предположим, что V - это подмножество (в случае n = 3, V представляет собой объем в трехмерном пространстве ), которое компактно и имеет кусочно гладкую границу S (также обозначенную ∂ V = S ). Если Р является непрерывно дифференцируемое векторное поле , определенное на окрестности из V , то: ^{[4] [ не прошла проверку - см обсуждение ]}${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$  

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,dV=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} )\,dS.}$

Левая сторона представляет собой объемный интеграл по объему V , правая сторона представляет собой поверхностный интеграл по границе объема V . Замкнутое многообразие ∂ V ориентирован на внешнем мире, указывающие нормали , а п является внешним указывая единичный вектор нормали в каждой точке на границе ∂ V . ( d S может использоваться как сокращение для n dS .) В терминах интуитивного описания выше, левая часть уравнения представляет собой сумму источников в объеме V, А правая часть представляет собой полный поток через границу S .

Неформальное происхождение [ править ]

Теорема о расходимости следует из того факта, что если объем V разделен на отдельные части, поток из исходного объема равен сумме потоков из каждого объема компонента. ^[5] Это верно, несмотря на то, что новые подобъемы имеют поверхности, которые не были частью поверхности исходного тома, потому что эти поверхности являются просто перегородками между двумя подобъемами, и поток через них просто проходит из одного объема в другой и поэтому отменяется при суммировании потока из подобъемов.

См. Схему. Замкнутый ограниченный объем V разделен на два объема V ₁ и V ₂ поверхностью S ₃ (зеленая) . Поток Φ ( V _i ) из каждой составляющей области V _i равен сумме потоков, проходящих через две его грани, поэтому сумма потока из двух частей равна

${\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi _{\text{1}}+\Phi _{\text{31}}+\Phi _{\text{2}}+\Phi _{\text{32}}}$

где Φ ₁ и Φ ₂ - поток через поверхности S ₁ и S ₂ , Φ ₃₁ - поток через S ₃ из объема 1, а Φ ₃₂ - поток через S ₃ из объема 2. Дело в том, что поверхность S ₃ является частью поверхности обоих объемов. «Внешнее» направление вектора нормали противоположно для каждого объема, поэтому поток из одного через S ₃ равен отрицательному потоку из другого.${\displaystyle \mathbf {\hat {n}} }$

${\displaystyle \Phi _{\text{32}}=\iint _{S_{3}}\mathbf {F} \cdot (-\mathbf {\hat {n}} )\;dS=-\iint _{S_{3}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;dS=-\Phi _{\text{31}}}$

так что эти два потока сокращаются в сумме. Следовательно

${\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi _{\text{1}}+\Phi _{\text{2}}}$

Поскольку объединение поверхностей S ₁ и S ₂ есть S

${\displaystyle \Phi (V_{\text{1}})+\Phi (V_{\text{2}})=\Phi (V)}$

Этот принцип применим к объему, разделенному на любое количество частей, как показано на схеме. ^[5] Поскольку интеграл по каждой внутренней перегородке (зеленые поверхности) появляется с противоположными знаками в потоке двух смежных объемов, они сокращаются, и единственный вклад в поток - интеграл по внешним поверхностям (серый) . Поскольку внешние поверхности всех объемов компонентов равны исходной поверхности.

${\displaystyle \Phi (V)=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\Phi (V_{\text{i}})}$

Поскольку объем разделен на более мелкие части, отношение потока из каждого объема к объему приближается к${\displaystyle \Phi (V_{\text{i}})}$${\displaystyle |V_{\text{i}}|}$${\displaystyle \operatorname {div} \mathbf {F} }$

Поток Φ из каждого объема является поверхностным интегралом векторного поля F ( x ) по поверхности

${\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;dS=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;dS}$

Цель состоит в том, чтобы разделить исходный объем на бесконечное множество бесконечно малых объемов. Поскольку объем делится на меньшие и меньшие части, интеграл поверхности справа, поток из каждого подобъема, приближается к нулю, потому что площадь поверхности S ( V _i ) приближается к нулю. Однако из определения дивергенции , отношение потока к объему, часть в скобках ниже, в общем случае не исчезает, а приближается к дивергенции div F, когда объем приближается к нулю. ^[5]${\displaystyle {\frac {\Phi (V_{\text{i}})}{|V_{\text{i}}|}}={\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;dS}$

${\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;dS=\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\left({\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;dS\right)|V_{\text{i}}|}$

Пока векторное поле F ( x ) имеет непрерывные производные, указанная выше сумма сохраняется даже в пределе, когда объем делится на бесконечно малые приращения

${\displaystyle \iint _{S(V)}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;dS=\lim _{|V_{\text{i}}|\to 0}\sum _{V_{\text{i}}\subset V}\left({\frac {1}{|V_{\text{i}}|}}\iint _{S(V_{\text{i}})}\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \;dS\right)|V_{\text{i}}|}$

По мере приближения к нулевому объему он становится бесконечно малым dV , часть в скобках становится дивергенцией, а сумма становится интегралом объема по V${\displaystyle |V_{\text{i}}|}$

Поскольку этот вывод не содержит координат, он показывает, что расхождение не зависит от используемых координат.

Следствия [ править ]

Заменяя F в теореме о расходимости конкретными формами, можно вывести другие полезные тождества (ср. Векторные тождества ). ^[4]

• С для скалярной функции g и векторного поля F ,${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} g}$

${\displaystyle \iiint _{V}\left[\mathbf {F} \cdot \left(\nabla g\right)+g\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\right]dV=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle g\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} dS.}$

Частным случаем этого является F = ∇  f  , и в этом случае теорема является основой тождеств Грина .

• Для двух векторных полей F и G , где обозначает перекрестное произведение,${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} \times \mathbf {G} }$${\displaystyle \times }$

${\displaystyle \iiint _{V}\left[\mathbf {G} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {F} \right)-\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \times \mathbf {G} \right)\right]\,dV=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \times \mathbf {G} )\cdot \mathbf {n} d\mathbf {S} .}$

• Для двух векторных полей F и G , где обозначает скалярное произведение,${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {F} \cdot \mathbf {G} }$${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \left(\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} \right)dV=\iiint _{V}\left[\mathbf {F} \cdot \left(\nabla \cdot \mathbf {G} \right)+\left(\nabla \cdot \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {G} \right]\,dV=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {G} )\cdot \mathbf {n} d\mathbf {S} .}$

• С для скалярной функции f и векторного поля c : ^[6]${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow f\mathbf {c} }$  

${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {c} \cdot \nabla f\,dV=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {c} f)\cdot \mathbf {n} dS-\iiint _{V}f(\nabla \cdot \mathbf {c} )\,dV.}$

Последний член справа исчезает для постоянного или любого бездивергентного (соленоидального) векторного поля, например, несжимаемые потоки без источников или стоков, таких как фазовые превращения или химические реакции и т. Д. В частности, если считать постоянным:${\displaystyle \mathbf {c} }$${\displaystyle \mathbf {c} }$

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla f\,dV=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle fd\mathbf {S} .}$

• С для векторного поля F и постоянного вектора c : ^[6]${\displaystyle \mathbf {F} \rightarrow \mathbf {c} \times \mathbf {F} }$

${\displaystyle \iiint _{V}\mathbf {c} \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )\,dV=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \times \mathbf {c} )\cdot \mathbf {n} d\mathbf {S} .}$

Переупорядочив тройное произведение в правой части и вынув постоянный вектор интеграла,

${\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,dV\cdot \mathbf {c} =}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (d\mathbf {S} \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {c} .}$

Следовательно,

${\displaystyle \iiint _{V}(\nabla \times \mathbf {F} )\,dV=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {n} \times \mathbf {F} dS.}$

Пример [ править ]

Предположим, мы хотим оценить

${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS,}$

где S - единичная сфера, определяемая формулой

${\displaystyle S=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right\},}$

и F - векторное поле

${\displaystyle \mathbf {F} =2x\mathbf {i} +y^{2}\mathbf {j} +z^{2}\mathbf {k} .}$

Прямое вычисление этого интеграла довольно сложно, но мы можем упростить вывод результата, используя теорему о расходимости, потому что теорема о расходимости говорит, что интеграл равен:

${\displaystyle \iiint _{W}(\nabla \cdot \mathbf {F} )\,dV=2\iiint _{W}(1+y+z)\,dV=2\iiint _{W}dV+2\iiint _{W}y\,dV+2\iiint _{W}z\,dV,}$

где W - единичный шар:

${\displaystyle W=\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\ :\ x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq 1\right\}.}$

Поскольку функция y положительна в одном полушарии W и отрицательна в другом, ее полный интеграл по W равен нулю. То же верно и для z :

${\displaystyle \iiint _{W}y\,dV=\iiint _{W}z\,dV=0.}$

Следовательно,

${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,{d}S=2\iiint _{W}\,dV={\frac {8\pi }{3}},}$

поскольку единичный шар W имеет объем 4 π/3.

Приложения [ править ]

Дифференциальная форма и интегральная форма физических законов [ править ]

В результате теоремы о расходимости множество физических законов может быть записано как в дифференциальной форме (где одна величина является дивергенцией другой), так и в интегральной форме (где поток одной величины через замкнутую поверхность равен потоку другой величины. количество). Три примера - это закон Гаусса (в электростатике ), закон Гаусса для магнетизма и закон Гаусса для гравитации .

Уравнения неразрывности [ править ]

Уравнения неразрывности предлагают больше примеров законов с дифференциальной и интегральной формами, связанных друг с другом теоремой о расходимости. В гидродинамике , электромагнетизме , квантовой механике , теории относительности и ряде других областей существуют уравнения неразрывности, которые описывают сохранение массы, импульса, энергии, вероятности или других величин. Обычно эти уравнения утверждают, что дивергенция потока сохраняющейся величины равна распределению источников или стоковэтого количества. Теорема о дивергенции утверждает, что любое такое уравнение неразрывности может быть записано в дифференциальной форме (в терминах дивергенции) и в интегральной форме (в терминах потока). ^[7]

Законы обратных квадратов [ править ]

Вместо этого любой закон обратных квадратов может быть записан в форме закона Гаусса (с дифференциальной и интегральной формами, как описано выше). Два примера закон Гаусс (в электростатике), что следует из обратных квадратов закона Кулона и закон Гаусса для гравитации , которая следует из обратных квадратов закона Ньютона всемирного тяготения . Вывод уравнения типа закона Гаусса из формулировки обратных квадратов или наоборот абсолютно одинаков в обоих случаях; подробности см. в любой из этих статей. ^[7]

История [ править ]

Жозеф-Луи Лагранж ввел понятие поверхностных интегралов в 1760 году и снова в более общих терминах в 1811 году во втором издании своей Аналитической механики . Лагранж использовал поверхностные интегралы в своих работах по механике жидкости. ^[8] Он открыл теорему о расходимости в 1762 году. ^[9]

Карл Фридрих Гаусс также использовал поверхностные интегралы, работая над гравитационным притяжением эллиптического сфероида в 1813 году, когда он доказал частные случаи теоремы о расходимости. ^{[10] [8]} Он доказал дополнительные частные случаи в 1833 и 1839 годах. ^[11] Но именно Михаил Остроградский дал первое доказательство общей теоремы в 1826 году в рамках своего исследования теплового потока. ^[12] Особые случаи были доказаны Джорджем Грином в 1828 году в «Очерке применения математического анализа к теориям электричества и магнетизма» , ^{[13] [11]} Симеоном Дени Пуассоном в 1824 году в статье об эластичности иФредерик Саррус в 1828 году в своей работе о плавучих телах. ^{[14] [11]}

Примеры работ [ править ]

Пример 1 [ править ]

Чтобы проверить планарный вариант теоремы о расходимости для области :${\displaystyle R}$

${\displaystyle R=\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\ :\ x^{2}+y^{2}\leq 1\right\},}$

и векторное поле:

${\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=2y\mathbf {i} +5x\mathbf {j} .}$

Граница - это единичный круг , который параметрически может быть представлен как:${\displaystyle R}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle x=\cos(s),\quad y=\sin(s)}$

таким образом, что , когда блоки длина дуги от точки до точки на . Тогда векторное уравнение является${\displaystyle 0\leq s\leq 2\pi }$${\displaystyle s}$${\displaystyle s=0}$${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle C(s)=\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j} .}$

В точке на :${\displaystyle P}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle P=(\cos(s),\,\sin(s))\,\Rightarrow \,\mathbf {F} =2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} .}$

Следовательно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,ds&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\mathbf {i} +5\cos(s)\mathbf {j} )\cdot (\cos(s)\mathbf {i} +\sin(s)\mathbf {j} )\,ds\\&=\int _{0}^{2\pi }(2\sin(s)\cos(s)+5\sin(s)\cos(s))\,ds\\&=7\int _{0}^{2\pi }\sin(s)\cos(s)\,ds\\&=0.\end{aligned}}}$

Потому что , мы можем оценить , и потому , . Таким образом${\displaystyle M=2y}$${\displaystyle {\frac {\partial M}{\partial x}}=0}$${\displaystyle N=5x}$ ${\displaystyle {\frac {\partial N}{\partial y}}=0}$

${\displaystyle \iint _{R}\,\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \,dA=\iint _{R}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}+{\frac {\partial N}{\partial y}}\right)\,dA=0.}$

Пример 2 [ править ]

Допустим, мы хотели оценить поток следующего векторного поля, определяемого ограниченным следующими неравенствами:${\displaystyle \mathbf {F} =2x^{2}{\textbf {i}}+2y^{2}{\textbf {j}}+2z^{2}{\textbf {k}}}$

${\displaystyle \left\{0\leq x\leq 3\right\}\left\{-2\leq y\leq 2\right\}\left\{0\leq z\leq 2\pi \right\}}$

По теореме о расходимости

${\displaystyle \iiint _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)dV=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle (\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,dS.}$

Теперь нам нужно определить расхождение . Если - трехмерное векторное поле, то расходимость определяется выражением .${\displaystyle {\textbf {F}}}$${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle {\textbf {F}}}$${\textstyle \nabla \cdot {\textbf {F}}=\left({\frac {\partial }{\partial x}}{\textbf {i}}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\textbf {j}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\textbf {k}}\right)\cdot {\textbf {F}}}$

Таким образом, мы можем установить следующий интеграл потока следующим образом:${\displaystyle I=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I&=\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {F} \,dV\\[6pt]&=\iiint _{V}\left({\frac {\partial \mathbf {F_{x}} }{\partial x}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{y}} }{\partial y}}+{\frac {\partial \mathbf {F_{z}} }{\partial z}}\right)dV\\[6pt]&=\iiint _{V}(4x+4y+4z)\,dV\\[6pt]&=\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,dV\end{aligned}}}$

Теперь, когда мы установили интеграл, мы можем его вычислить.

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{3}\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(4x+4y+4z)\,dV&=\int _{-2}^{2}\int _{0}^{2\pi }(12y+12z+18)\,dy\,dz\\[6pt]&=\int _{0}^{2\pi }24(2z+3)\,dz\\[6pt]&=48\pi (2\pi +3)\end{aligned}}}$

Обобщения [ править ]

Несколько измерений [ править ]

Можно использовать общую теорему Стокса, чтобы приравнять n- мерный объемный интеграл дивергенции векторного поля F над областью U к ( n - 1) -мерному поверхностному интегралу F по границе U :

${\displaystyle \underbrace {\int \cdots \int _{U}} _{n}\nabla \cdot \mathbf {F} \,dV=\underbrace {\oint \cdots \oint _{\partial U}} _{n-1}\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} \,dS}$

Это уравнение также известно как теорема о расходимости.

Когда n = 2 , это эквивалентно теореме Грина .

При n = 1 это сводится к интегрированию по частям .

Тензорные поля [ править ]

Записываем теорему в обозначениях Эйнштейна :

${\displaystyle \iiint _{V}{\dfrac {\partial \mathbf {F} _{i}}{\partial x_{i}}}dV=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{i}n_{i}\,dS}$

намеком, заменив векторное поле F с rank- п тензорного поля Т , то это может быть обобщена на: ^[15]

${\displaystyle \iiint _{V}{\dfrac {\partial T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}}{\partial x_{i_{q}}}}dV=}$ ${\displaystyle \scriptstyle S}$ ${\displaystyle T_{i_{1}i_{2}\cdots i_{q}\cdots i_{n}}n_{i_{q}}\,dS.}$

где с каждой стороны тензорное сжатие происходит по крайней мере для одного индекса. Эта форма теоремы все еще представлена ​​в трехмерном пространстве, каждый индекс принимает значения 1, 2 и 3. Ее можно еще обобщить на более высокие (или более низкие) измерения (например, на четырехмерное пространство-время в общей теории относительности ^[16] ).

См. Также [ править ]

• Теорема Кельвина – Стокса

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• «Формула Остроградского» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Дифференциальные операторы и теорема о расходимости на MathPages
• Теорема о расходимости (Гаусса) Ника Быкова, Wolfram Demonstrations Project .
• Вайсштейн, Эрик В. «Теорема о расходимости» . MathWorld .- Эта статья изначально была основана на статье GFDL из PlanetMath по адресу https://web.archive.org/web/20021029094728/http://planetmath.org/encyclopedia/Divergence.html