Остроградская нестабильность

В прикладной математике неустойчивость Остроградского является следствием теоремы Михаила Остроградского в классической механике, согласно которой невырожденный лагранжиан, зависящий от производных по времени, больших, чем первая, соответствует линейно неустойчивому гамильтониану, связанному с лагранжианом через преобразование Лежандра . Неустойчивость Остроградского была предложена в качестве объяснения того, почему никакие дифференциальные уравнения более высокого порядка, чем два, не описывают физические явления. ^[1]

Схема доказательства ^[2] [ править ]

Основные моменты доказательства можно прояснить, рассмотрев одномерную систему с лагранжианом . Уравнение Эйлера – Лагранжа имеет вид${\ Displaystyle L (д, {\ точка {q}}, {\ ddot {q}})}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial L} {\ partial q}} - {\ frac {d} {dt}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ dot {q}}}} + { \ frac {d ^ {2}} {dt ^ {2}}} {\ frac {\ partial L} {\ partial {\ ddot {q}}}} = 0.}$

Невырожденность означает, что канонические координаты могут быть выражены через производные от и наоборот. Таким образом, является функцией (если это не было, то якобиан исчезнет, что будет означать , что является вырожденным), а это означает , что мы можем написать или переворачивание . Поскольку эволюция зависит от четырех начальных параметров, это означает, что существует четыре канонических координаты. Мы можем записать их как${\ displaystyle L}$${\ displaystyle {q}}$${\displaystyle \partial L/\partial {\ddot {q}}}$${\displaystyle {\ddot {q}}}$ ${\displaystyle \det[\partial ^{2}L/(\partial {{\ddot {q}}_{i}}\,\partial {\ddot {q}}_{j})]}$${\displaystyle L}$${\displaystyle q^{(4)}=F(q,{\dot {q}},{\ddot {q}},q^{(3)})}$${\displaystyle q=G(t,q_{0},{\dot {q}}_{0},{\ddot {q}}_{0},q_{0}^{(3)})}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle Q_{1}:=q}$

${\displaystyle Q_{2}:={\dot {q}}}$

и используя определение сопряженного импульса,

${\displaystyle P_{1}:={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\ddot {q}}}}}$

${\displaystyle P_{2}:={\frac {\partial L}{\partial {\ddot {q}}}}}$

Приведенные выше результаты можно получить следующим образом. Сначала мы переписываем лагранжиан в «обычную» форму, вводя множитель лагранжиана в качестве новой динамической переменной.${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle L(q,{\dot {q}},{\ddot {q}})\to {\tilde {L}}=L(Q_{1},{\dot {Q_{1}}},{\dot {Q_{2}}})-\lambda (Q_{2}-{\dot {Q_{1}}})}$,

откуда уравнения Эйлера-Лагранжа для чтения${\displaystyle Q_{1},Q_{2},\lambda }$

${\displaystyle Q_{1}:{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}+{\dot {\lambda }}-{\frac {\partial L}{\partial Q_{1}}}=0}$,

${\displaystyle Q_{2}:{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}+{\lambda }=0}$,

${\displaystyle \lambda :Q_{2}-{\dot {Q_{1}}}=0}$,

Теперь легко показать , что канонический импульс по отношению к${\displaystyle P_{1},P_{2}}$${\displaystyle {\tilde {L}}}$

${\displaystyle P_{1}={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}+\lambda ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}}$

${\displaystyle P_{2}={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}={\frac {\partial {L}}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}}$

пока

${\displaystyle P_{\lambda }=0}$

Это в точности определения, данные выше Остроградским. Можно продолжить оценку гамильтониана

${\displaystyle {\tilde {H}}=P_{1}{\dot {Q_{1}}}+P_{2}{\dot {Q_{2}}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}-{\tilde {L}}=P_{1}Q_{2}+P_{2}{\dot {Q_{2}}}-{L}}$,

где для второго равенства используются приведенные выше уравнения Эйлера-Лагранжа. Отметим, что в силу невырожденности мы можем писать как . Здесь нужны только три аргумента, поскольку у самого лагранжиана всего три свободных параметра. Следовательно, последнее выражение зависит только от , оно эффективно служит гамильтонианом исходной теории, а именно,${\displaystyle {\ddot {q}}={\dot {Q_{2}}}}$${\displaystyle a(Q_{1},Q_{2},P_{2})}$${\displaystyle P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}}$

${\displaystyle H=P_{1}Q_{2}+P_{2}a(Q_{1},Q_{2},P_{2})-L(Q_{1},Q_{2},P_{2})}$.

Заметим теперь, что гамильтониан линейен по . Это неустойчивость Остроградского, и она проистекает из того факта, что лагранжиан зависит от меньшего количества координат, чем есть канонические координаты (которые соответствуют начальным параметрам, необходимым для постановки задачи). Распространение на системы более высокой размерности аналогично, а расширение на более высокие производные просто означает, что фазовое пространство имеет даже более высокую размерность, чем конфигурационное пространство, что усугубляет нестабильность (поскольку гамильтониан линейен в еще более канонических координатах).${\displaystyle P_{1}}$

Заметки [ править ]