В прикладной математике функции Кельвина ber ν ( x ) и bei ν ( x ) являются действительной и мнимой частями соответственно
J ν ( Икс е 3 π я 4 ) , {\ displaystyle J _ {\ nu} \ left (xe ^ {\ frac {3 \ pi i} {4}} \ right), \,} где x вещественно, а J ν ( z ) - функция Бесселя ν- го порядка первого рода. Аналогично функции ker ν ( x ) и kei ν ( x ) являются действительной и мнимой частями соответственно
K ν ( Икс е π я 4 ) , {\ displaystyle K _ {\ nu} \ left (xe ^ {\ frac {\ pi i} {4}} \ right), \,} где K ν ( z ) - модифицированная функция Бесселя ν- го порядка второго рода.
Эти функции названы в честь Уильяма Томсона, 1-го барона Кельвина .
Хотя функции Кельвина определены как действительная и мнимая части функций Бесселя, где x считается действительным, функции могут быть аналитически продолжены для комплексных аргументов xe iφ , 0 ≤ φ <2 π . За исключением ber n ( x ) и bei n ( x ) для целого n , функции Кельвина имеют точку ветвления при x = 0.
Ниже Γ ( z ) - гамма-функция, а ψ ( z ) - дигамма-функция .
ber (
x ) для
x от 0 до 20.
б е р ( Икс ) / е Икс / 2 {\ Displaystyle \ mathrm {ber} (х) / е ^ {х / {\ sqrt {2}}}} для
x от 0 до 50.
Для целых n , ber n ( x ) имеет разложение в ряд
б е р п ( Икс ) знак равно ( Икс 2 ) п ∑ k ≥ 0 потому что [ ( 3 п 4 + k 2 ) π ] k ! Γ ( п + k + 1 ) ( Икс 2 4 ) k , {\displaystyle \mathrm {ber} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k},} где Γ ( z ) - гамма-функция . Частный случай ber 0 ( x ), обычно обозначаемый просто ber ( x ), имеет разложение в ряд
b e r ( x ) = 1 + ∑ k ≥ 1 ( − 1 ) k [ ( 2 k ) ! ] 2 ( x 2 ) 4 k {\displaystyle \mathrm {ber} (x)=1+\sum _{k\geq 1}{\frac {(-1)^{k}}{[(2k)!]^{2}}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{4k}} и асимптотический ряд
b e r ( x ) ∼ e x 2 2 π x ( f 1 ( x ) cos α + g 1 ( x ) sin α ) − k e i ( x ) π {\displaystyle \mathrm {ber} (x)\sim {\frac {e^{\frac {x}{\sqrt {2}}}}{\sqrt {2\pi x}}}\left(f_{1}(x)\cos \alpha +g_{1}(x)\sin \alpha \right)-{\frac {\mathrm {kei} (x)}{\pi }}} ,куда
α = x 2 − π 8 , {\displaystyle \alpha ={\frac {x}{\sqrt {2}}}-{\frac {\pi }{8}},} f 1 ( x ) = 1 + ∑ k ≥ 1 cos ( k π / 4 ) k ! ( 8 x ) k ∏ l = 1 k ( 2 l − 1 ) 2 {\displaystyle f_{1}(x)=1+\sum _{k\geq 1}{\frac {\cos(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}} g 1 ( x ) = ∑ k ≥ 1 sin ( k π / 4 ) k ! ( 8 x ) k ∏ l = 1 k ( 2 l − 1 ) 2 . {\displaystyle g_{1}(x)=\sum _{k\geq 1}{\frac {\sin(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}.} bei (
x ) для
x от 0 до 20.
b e i ( x ) / e x / 2 {\displaystyle \mathrm {bei} (x)/e^{x/{\sqrt {2}}}} для
x от 0 до 50.
Для целых n , bei n ( x ) имеет разложение в ряд
b e i n ( x ) = ( x 2 ) n ∑ k ≥ 0 sin [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] k ! Γ ( n + k + 1 ) ( x 2 4 ) k . {\displaystyle \mathrm {bei} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}.} Частный случай bei 0 ( x ), обычно обозначаемый как bei ( x ), имеет разложение в ряд
b e i ( x ) = ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k [ ( 2 k + 1 ) ! ] 2 ( x 2 ) 4 k + 2 {\displaystyle \mathrm {bei} (x)=\sum _{k\geq 0}{\frac {(-1)^{k}}{[(2k+1)!]^{2}}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{4k+2}} и асимптотический ряд
b e i ( x ) ∼ e x 2 2 π x [ f 1 ( x ) sin α − g 1 ( x ) cos α ] − k e r ( x ) π , {\displaystyle \mathrm {bei} (x)\sim {\frac {e^{\frac {x}{\sqrt {2}}}}{\sqrt {2\pi x}}}[f_{1}(x)\sin \alpha -g_{1}(x)\cos \alpha ]-{\frac {\mathrm {ker} (x)}{\pi }},} где α, и определяются как для бер ( х ). f 1 ( x ) {\displaystyle f_{1}(x)} g 1 ( x ) {\displaystyle g_{1}(x)}
ker (
x ) для
x от 0 до 14.
k e r ( x ) e x / 2 {\displaystyle \mathrm {ker} (x)e^{x/{\sqrt {2}}}} для
x от 0 до 50.
Для целых n , ker n ( x ) имеет разложение в (сложный) ряд
k e r n ( x ) = − ln ( x 2 ) b e r n ( x ) + π 4 b e i n ( x ) + 1 2 ( x 2 ) − n ∑ k = 0 n − 1 cos [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ( n − k − 1 ) ! k ! ( x 2 4 ) k + 1 2 ( x 2 ) n ∑ k ≥ 0 cos [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ψ ( k + 1 ) + ψ ( n + k + 1 ) k ! ( n + k ) ! ( x 2 4 ) k . {\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {ker} _{n}(x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {ber} _{n}(x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {bei} _{n}(x)\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}.\end{aligned}}} Частный случай ker 0 ( x ), обычно обозначаемый как ker ( x ), имеет разложение в ряд
k e r ( x ) = − ln ( x 2 ) b e r ( x ) + π 4 b e i ( x ) + ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k ψ ( 2 k + 1 ) [ ( 2 k ) ! ] 2 ( x 2 4 ) 2 k {\displaystyle \mathrm {ker} (x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {ber} (x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {bei} (x)+\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}{\frac {\psi (2k+1)}{[(2k)!]^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{2k}} и асимптотический ряд
k e r ( x ) ∼ π 2 x e − x 2 [ f 2 ( x ) cos β + g 2 ( x ) sin β ] , {\displaystyle \mathrm {ker} (x)\sim {\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-{\frac {x}{\sqrt {2}}}}[f_{2}(x)\cos \beta +g_{2}(x)\sin \beta ],} куда
β = x 2 + π 8 , {\displaystyle \beta ={\frac {x}{\sqrt {2}}}+{\frac {\pi }{8}},} f 2 ( x ) = 1 + ∑ k ≥ 1 ( − 1 ) k cos ( k π / 4 ) k ! ( 8 x ) k ∏ l = 1 k ( 2 l − 1 ) 2 {\displaystyle f_{2}(x)=1+\sum _{k\geq 1}(-1)^{k}{\frac {\cos(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}} g 2 ( x ) = ∑ k ≥ 1 ( − 1 ) k sin ( k π / 4 ) k ! ( 8 x ) k ∏ l = 1 k ( 2 l − 1 ) 2 . {\displaystyle g_{2}(x)=\sum _{k\geq 1}(-1)^{k}{\frac {\sin(k\pi /4)}{k!(8x)^{k}}}\prod _{l=1}^{k}(2l-1)^{2}.}
kei (
x ) для
x от 0 до 14.
k e i ( x ) e x / 2 {\displaystyle \mathrm {kei} (x)e^{x/{\sqrt {2}}}} для
x от 0 до 50.
Для целого n kei n ( x ) имеет разложение в ряд
k e i n ( x ) = − ln ( x 2 ) b e i n ( x ) − π 4 b e r n ( x ) − 1 2 ( x 2 ) − n ∑ k = 0 n − 1 sin [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ( n − k − 1 ) ! k ! ( x 2 4 ) k + 1 2 ( x 2 ) n ∑ k ≥ 0 sin [ ( 3 n 4 + k 2 ) π ] ψ ( k + 1 ) + ψ ( n + k + 1 ) k ! ( n + k ) ! ( x 2 4 ) k . {\displaystyle {\begin{aligned}&\mathrm {kei} _{n}(x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {bei} _{n}(x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {ber} _{n}(x)\\&-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\\&+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}.\end{aligned}}} Частный случай kei 0 ( x ), обычно обозначаемый как просто kei ( x ), имеет разложение в ряд
k e i ( x ) = − ln ( x 2 ) b e i ( x ) − π 4 b e r ( x ) + ∑ k ≥ 0 ( − 1 ) k ψ ( 2 k + 2 ) [ ( 2 k + 1 ) ! ] 2 ( x 2 4 ) 2 k + 1 {\displaystyle \mathrm {kei} (x)=-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {bei} (x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {ber} (x)+\sum _{k\geq 0}(-1)^{k}{\frac {\psi (2k+2)}{[(2k+1)!]^{2}}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{2k+1}} и асимптотический ряд
k e i ( x ) ∼ − π 2 x e − x 2 [ f 2 ( x ) sin β + g 2 ( x ) cos β ] , {\displaystyle \mathrm {kei} (x)\sim -{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}e^{-{\frac {x}{\sqrt {2}}}}[f_{2}(x)\sin \beta +g_{2}(x)\cos \beta ],} где β , f 2 ( x ) и g 2 ( x ) определены как для ker ( x ).
Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 9» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 379. ISBN 978-0-486-61272-0 . LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . LCCN 65-12253 .Olver, FWJ; Максимон, LC (2010), «Функции Бесселя» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248 Внешние ссылки [ править ] Вайсштейн, Эрик В. «Функции Кельвина». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. [1] Исходный код C / C ++ под лицензией GPL для вычисления функций Кельвина на codecogs.com: [2]