Преобразование Кельвина

Преобразование Кельвина - это устройство, используемое в классической теории потенциала для расширения концепции гармонической функции , позволяя определить функцию, которая является «гармонической на бесконечности». Этот метод также используется при исследовании субгармонических и супергармонических функций.

Чтобы определить преобразование Кельвина f ^* функции f , необходимо сначала рассмотреть концепцию инверсии в сфере в R ⁿ следующим образом.

Можно использовать инверсию в любой сфере, но идеи наиболее ясны при рассмотрении сферы с центром в начале координат.

Для фиксированной сферы S (0, R ) с центром 0 и радиусом R инверсия точки x в R ⁿ определяется как

{\ displaystyle x ^ {*} = {\ frac {R ^ {2}} {| x | ^ {2}}} x.}

Полезный эффект этой инверсии состоит в том, что начало координат 0 является изображением и является изображением 0. При этой инверсии сферы преобразуются в сферы, а внешняя часть сферы преобразуется во внутреннюю, и наоборот. ${\ displaystyle \ infty}$ ${\ displaystyle \ infty}$

Тогда преобразование Кельвина функции определяется следующим образом:

Если D - открытое подмножество R ⁿ , не содержащее 0, то для любой функции f, определенной на D , преобразование Кельвина f ^* функции f относительно сферы S (0, R ) будет

{\ displaystyle f ^ {*} (x ^ {*}) = {\ frac {| x | ^ {n-2}} {R ^ {2n-4}}}} f (x) = {\ frac {1 } {| x ^ {*} | ^ {n-2}}} f (x) = {\ frac {1} {| x ^ {*} | ^ {n-2}}} f \ left ({\ frac {R ^ {2}} {| x ^ {*} | ^ {2}}} x ^ {*} \ right).}

Одним из важных свойств преобразования Кельвина и основной причиной его создания является следующий результат:

Пусть D - открытое подмножество в R ⁿ , не содержащее начала 0. Тогда функция u является гармонической, субгармонической или супергармонической в D тогда и только тогда, когда преобразование Кельвина u ^* относительно сферы S (0, R ) имеет вид гармоника, субгармоника или супергармоника в D ^* .

Это следует из формулы

{\ Displaystyle \ Delta u ^ {*} (x ^ {*}) = {\ frac {R ^ {4}} {| x ^ {*} | ^ {n + 2}}} (\ Delta u) \ left ({\ frac {R ^ {2}} {| x ^ {*} | ^ {2}}} x ^ {*} \ right).}

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Уильям Томсон, лорд Кельвин (1845) "Extrait d'une lettre de M. William Thomson à M. Liouville", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 10: 364–7
Уильям Томпсон (1847) "Extraits deux lettres adressees à M. Liouville, par M. William Thomson", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées 12: 556–64
JL Doob (2001). Классическая теория потенциала и ее вероятностный аналог . Springer-Verlag. п. 26. ISBN 3-540-41206-9.
Л.Л. Хелмс (1975). Введение в теорию потенциала . RE Krieger. ISBN 0-88275-224-3.
О.Д. Келлогг (1953). Основы теории потенциала . Дувр. ISBN 0-486-60144-7.
Джон Вермер (1981) Теория потенциала, 2-е издание, стр. 84, Конспект лекций по математике # 408 ISBN 3-540-10276-0