Теорема Кирхбергера - это теорема дискретной геометрии о линейной отделимости . Двумерная версия теоремы гласит, что если конечный набор красных и синих точек на евклидовой плоскости обладает тем свойством, что для каждых четырех точек существует линия, разделяющая красную и синюю точки внутри этих четырех точек, тогда существует существует одна линия, отделяющая все красные точки от всех синих точек. Дональд Ватсон выразил этот результат более красочно, используя аналогию с фермерским двором:
Если овцы и козы пасутся в поле и для каждых четырех животных существует линия, отделяющая овцу от коз, то такая линия существует для всех животных. [1]
В более общем смысле, для конечного числа красных и синих точек в -мерное евклидово пространство , если красная и синяя точки в каждом подмножестветочек линейно разделимы, то все красные точки и все синие точки линейно разделимы. Другой эквивалентный способ сформулировать результат состоит в том, что если выпуклые оболочки конечного числа красных и синих точек имеют непустое пересечение, то существует подмножествоточки, для которых также пересекаются выпуклые оболочки красной и синей точек в подмножествах. [2] [3]
История и доказательства
Теорема названа в честь немецкого математика Пола Kirchberger, ученик Давида Гильберта в Геттингенском университете , который доказал его в 1902 году диссертации, [4] и опубликовал его в 1903 году в Mathematische Annalen , [5] в качестве вспомогательной теоремы используется в его анализ чебышевского приближения . В отчете Гильберта о диссертации говорится, что некоторые вспомогательные теоремы Кирхбергера в этой части его диссертации были известны Герману Минковски, но не опубликованы; неясно, применимо ли это утверждение к результату, ныне известному как теорема Кирхбергера. [6]
Поскольку работа Kirchberger, другие доказательства Kirchberger теореме были опубликованы, в том числе простые доказательства , основанные на теореме Хелли о пересечении выпуклых множеств , [7] на основе теоремы Каратеодори о членстве в выпуклых оболочек , [2] или на основе принципов , связанных с теоремой Радона на пересечениях выпуклых оболочек. [3] Однако теорема Хелли, теорема Каратеодори и теорема Радона - все это теорема Кирхбергера, появившаяся позднее.
Усиленная версия теоремы Кирхбергера фиксирует одну из указанных точек и рассматривает только подмножества точки, которые включают фиксированную точку. Если красная и синяя точки в каждом из этих подмножеств линейно разделимы, то все красные точки и все синие точки линейно разделимы. [1] Теорема также верна, если красные и синие точки образуют компактные множества , которые не обязательно конечны. [3]
Используя стереографическую проекцию , теорему Кирхбергера можно использовать для доказательства аналогичного результата для круговой или сферической разделимости: если каждые пять точек из конечного числа красных и синих точек на плоскости могут иметь свои красные и синие точки, разделенные кругом, или каждые пять точек.точки в более высоких измерениях могут иметь красные и синие точки, разделенные гиперсферой , тогда все красные и синие точки могут быть разделены таким же образом. [8]
Смотрите также
- Теорема об отделении гиперплоскостей, теорема о том, что непересекающиеся компактные выпуклые множества линейно отделимы
Рекомендации
- ^ Б Уотсон, Дональд (1973), "Уточнение теорем Kirchberger и Carathéodory", Австралийский математического общества , 15 (2): 190-192, DOI : 10,1017 / S1446788700012957 , MR 0333980
- ^ а б Shimrat, Моше (1955), "Простое доказательство теоремы П. Kirchberger" , Тихоокеанский журнал математики , 5 (3): 361-362, DOI : 10,2140 / pjm.1955.5.361 , MR 0071796
- ^ а б в Вебстер, Р.Дж. (1983), «Еще одно простое доказательство теоремы Кирхбергера», Журнал математического анализа и приложений , 92 (1): 299–300, DOI : 10.1016 / 0022-247X (83) 90286-X , MR 0694178
- ↑ Пол Кирхбергер в проекте « Математическая генеалогия»
- ^ Кирхбергер, Пол (1903), "Убер Tchebychefsche Annäherungsmethoden" , Mathematische Annalen , 57 (4): 509-540, DOI : 10.1007 / BF01445182 , МР 1511222 , S2CID 120774553
- ^ Стефенс, Карл-Георг, "4,3 Thesis Kirchberger в" История теории приближений: От Эйлера до Бернстайна , Бостон: Birkhäuser, С. 135-137,. DOI : 10,1007 / 0-8176-4475-X_4 , MR 2190312
- ^ Радемахер, Ганс ; Шенберг, И. Дж. (1950), «Теоремы Хелли о выпуклых областях и проблема аппроксимации Чебычева», Canadian Journal of Mathematics , 2 : 245–256, doi : 10.4153 / cjm-1950-022-8 , MR 0035044
- ^ Лей, SR (1971), "О разделении с помощью сферических поверхностей", Американского математического в месяц , 78 (10): 1112-1113, DOI : 10,2307 / 2316320 , JSTOR 2316320 , МР 0300201
дальнейшее чтение
- Бергольд, Елена; Фельснер, Стефан; Шойхер, Манфред; Шредер, Феликс; Штайнер, Рафаэль (2020), «Топологические рисунки соответствуют классическим теоремам выпуклой геометрии», Труды 28-го Международного симпозиума по рисованию графов и визуализации сетей , arXiv : 2005.12568
- Хаул, Michael E. (1991), "Теорема о существовании разделения поверхностей", Дискретная & Вычислительная геометрия , 6 (1): 49-56, DOI : 10.1007 / BF02574673 , МР 1073072 , S2CID 1992810
- Ланги, Жолт; Насзоди, Мартон (2008), "Теоремы типа Кирхбергера для разделения выпуклыми областями", Periodica Mathematica Hungarica , 57 (2): 185–196, DOI : 10.1007 / s10998-008-8185-6 , MR 2469604 , S2CID 15506550
- Нетребин, АГ; Шашкин, Ю. А. (1985), "Теоремы типа Кирхбергера и Каратеодори в пространствах обобщенной выпуклости", Докл. АН СССР , 283 (5): 1085–1088, MR 0802134.
- Ренни, Британская Колумбия (1970), "Теорема как Kirchberger в", журнал Лондонского математического общества , вторая серия, 2 : 40-44, DOI : 10,1112 / jlms / s2-2.1.40 , MR 0250192