Эта статья включает в себя список общих
ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в
нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок .
Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Апрель 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )
В гидродинамике , что уравнения Кирхгофа , названные в честь Густава Кирхгофа , описывают движение твердого тела в качестве идеальной жидкости .
d d т ∂ Т ∂ ω → знак равно ∂ Т ∂ ω → × ω → + ∂ Т ∂ v → × v → + Q → час + Q → , d d т ∂ Т ∂ v → знак равно ∂ Т ∂ v → × ω → + F → час + F → , Т знак равно 1 2 ( ω → Т я ~ ω → + м v 2 ) Q → час знак равно - ∫ п Икс → × п ^ d σ , F → час знак равно - ∫ п п ^ d σ {\displaystyle {\begin{aligned}{d \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\vec {\omega }}}}&={{\partial T} \over {\partial {\vec {\omega }}}}\times {\vec {\omega }}+{{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {v}}+{\vec {Q}}_{h}+{\vec {Q}},\\[10pt]{d \over {dt}}{{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}&={{\partial T} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {\omega }}+{\vec {F}}_{h}+{\vec {F}},\\[10pt]T&={1 \over 2}\left({\vec {\omega }}^{T}{\tilde {I}}{\vec {\omega }}+mv^{2}\right)\\[10pt]{\vec {Q}}_{h}&=-\int p{\vec {x}}\times {\hat {n}}\,d\sigma ,\\[10pt]{\vec {F}}_{h}&=-\int p{\hat {n}}\,d\sigma \end{aligned}}} где и - вектор угловой и линейной скорости в точке соответственно; - тензор момента инерции, - масса тела; - единица, нормальная к поверхности тела в точке ; давление в этой точке; и - гидродинамический момент и сила, действующие на тело, соответственно; и аналогичным образом обозначают все остальные моменты и силы, действующие на тело. Интеграция выполняется на открытой части поверхности тела, подверженной воздействию жидкости. ω → {\displaystyle {\vec {\omega }}} v → {\displaystyle {\vec {v}}} x → {\displaystyle {\vec {x}}} I ~ {\displaystyle {\tilde {I}}} m {\displaystyle m} n ^ {\displaystyle {\hat {n}}} x → {\displaystyle {\vec {x}}} p {\displaystyle p} Q → h {\displaystyle {\vec {Q}}_{h}} F → h {\displaystyle {\vec {F}}_{h}} Q → {\displaystyle {\vec {Q}}} F → {\displaystyle {\vec {F}}}
Если тело полностью погружено тело в бесконечно большом объеме безвихревой несжимаемой невязкой жидкости, которая находится в состоянии покоя на бесконечности, то векторы и могут быть найдены с помощью явного интегрирования и динамика тела описывается Кирхгоф - Уравнения Клебша : Q → h {\displaystyle {\vec {Q}}_{h}} F → h {\displaystyle {\vec {F}}_{h}}
d d t ∂ L ∂ ω → = ∂ L ∂ ω → × ω → + ∂ L ∂ v → × v → , d d t ∂ L ∂ v → = ∂ L ∂ v → × ω → , {\displaystyle {d \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}}\times {\vec {\omega }}+{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {v}},\quad {d \over {dt}}{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}={{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\times {\vec {\omega }},} L ( ω → , v → ) = 1 2 ( A ω → , ω → ) + ( B ω → , v → ) + 1 2 ( C v → , v → ) + ( k → , ω → ) + ( l → , v → ) . {\displaystyle L({\vec {\omega }},{\vec {v}})={1 \over 2}(A{\vec {\omega }},{\vec {\omega }})+(B{\vec {\omega }},{\vec {v}})+{1 \over 2}(C{\vec {v}},{\vec {v}})+({\vec {k}},{\vec {\omega }})+({\vec {l}},{\vec {v}}).} Их первые интегралы читаются
J 0 = ( ∂ L ∂ ω → , ω → ) + ( ∂ L ∂ v → , v → ) − L , J 1 = ( ∂ L ∂ ω → , ∂ L ∂ v → ) , J 2 = ( ∂ L ∂ v → , ∂ L ∂ v → ) {\displaystyle J_{0}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}},{\vec {\omega }}\right)+\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}},{\vec {v}}\right)-L,\quad J_{1}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {\omega }}}},{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\right),\quad J_{2}=\left({{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}},{{\partial L} \over {\partial {\vec {v}}}}\right)} .Дальнейшее интегрирование дает явные выражения для положения и скоростей.
Кирхгоф ГР Vorlesungen ueber Mathematische Physik, Mechanik . Лекция 19. Лейпциг: Тойбнер. 1877 г. Лэмб Х. Гидродинамика . Шестое издание Кембриджа (Великобритания): Издательство Кембриджского университета. 1932 г.