Формула квантования Концевича

В математике формула квантования Концевича описывает, как построить обобщенную ★ -произведение операторной алгебры из заданного произвольного конечномерного пуассонова многообразия . Эта операторная алгебра представляет собой деформационное квантование соответствующей алгебры Пуассона. Это благодаря Максиму Концевичу . ^[1]^[2]

Деформационное квантование алгебры Пуассона [ править ]

Учитывая алгебра Пуассона $( , {\cdot, \cdot})$ , А деформация квантования является ассоциативная унитальная продукт ★ на алгебре формальных степенных рядов в $ħ, [[ħ]]$ , при соблюдении следующих двух аксиом,

{\ displaystyle {\ begin {align} f * g & = fg + {\ mathcal {O}} (\ hbar) \\ {} [f, g] & = f * gg * f = i \ hbar \ {f, g \} + {\ mathcal {O}} (\ hbar ^ {2}) \ конец {выровнено}}}

Если бы было дано пуассоново многообразие $(M, {\cdot, \cdot})$ , можно было бы дополнительно спросить, что

{\ displaystyle f * g = fg + \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} \ hbar ^ {k} B_ {k} (f \ otimes g),}

где $B k$ - линейные би- дифференциальные операторы степени не выше $k$ .

Две деформации называются эквивалентными, если они связаны калибровочным преобразованием типа

{\ displaystyle {\ begin {cases} D: A [[\ hbar]] \ to A [[\ hbar]] \\\ сумма _ {k = 0} ^ {\ infty} \ hbar ^ {k} f_ { k} \ mapsto \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} \ hbar ^ {k} f_ {k} + \ sum _ {n \ geq 1, k \ geq 0} D_ {n} (f_ {k }) \ hbar ^ {n + k} \ end {case}}}

где $D n$ - дифференциальные операторы порядка не выше $n$ . Соответствующее индуцированное ★ -произведение ★ ′ тогда будет

f\,{*}'\,g=D\left(\left(D^{-1}f\right)*\left(D^{-1}g\right)\right).

Для архетипического примера можно хорошо рассмотреть Groenewold «s оригинальный „Moyal-Вейль“★ -произведение .

Графики Концевича [ править ]

Граф Концевича - это простой ориентированный граф без петель на 2 внешних вершинах, помеченных f и g ; и $n$ внутренних вершин, помеченных $Π$ . Из каждой внутренней вершины берут начало два ребра. Все графы (классы эквивалентности) с $n$ внутренними вершинами накапливаются в множестве $G n (2)$ .

Примером двух внутренних вершин является следующий граф,

Связанный двухдифференциальный оператор [ править ]

С каждым графом $Γ$ связан бидифференциальный оператор $B Γ (f, g),$ определяемый следующим образом. Для каждого ребра есть частная производная по символу целевой вершины. Он сокращается с соответствующим индексом исходного символа. Член для графа $Γ$ - это произведение всех его символов вместе с их частными производными. Здесь f и g обозначают гладкие функции на многообразии, а $Π$ - бивектор Пуассона пуассонова многообразия.

Термин для примера графа:

\Pi ^{i_{2}j_{2}}\partial _{i_{2}}\Pi ^{i_{1}j_{1}}\partial _{i_{1}}f\,\partial _{j_{1}}\partial _{j_{2}}g.

Связанный вес [ править ]

Для сложения этих бидифференциальных операторов существуют веса $w Γ$ графа $Γ$ . Прежде всего, каждому графу соответствует кратность $m (Γ),$ которая подсчитывает, сколько эквивалентных конфигураций существует для одного графа. Согласно правилу сумма кратностей для всех графов с $n$ внутренними вершинами равна $(n (n + 1)) n$ . Приведенный выше пример графа имеет кратность $m (Γ) = 8$ . Для этого полезно пронумеровать внутренние вершины от 1 до $n$ .

Для того , чтобы вычислить вес , мы должны интегрировать продукты угла в верхней полуплоскости , H , следующим образом . Верхняя полуплоскость $H \subset$ наделена метрикой

ds^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{y^{2}}};

и для двух точек $г, ш \in H$ с $Z \neq ш$ , измерить угол $ф$ между геодезической от $г$ до $I \infty$ и от $г$ до $ж$ против часовой стрелки. Это

\phi (z,w)={\frac {1}{2i}}\log {\frac {(z-w)(z-{\bar {w}})}{({\bar {z}}-w)({\bar {z}}-{\bar {w}})}}.

Область интегрирования - это C _n ( H ) пространство

C_{n}(H):=\{(u_{1},\dots ,u_{n})\in H^{n}:u_{i}\neq u_{j}\forall i\neq j\}.

Формула сумм

w_{\Gamma }:={\frac {m(\Gamma )}{(2\pi )^{2n}n!}}\int _{C_{n}(H)}\bigwedge _{j=1}^{n}\mathrm {d} \phi (u_{j},u_{t1(j)})\wedge \mathrm {d} \phi (u_{j},u_{t2(j)})

,

где t 1 ( j ) и t 2 ( j ) - первая и вторая целевая вершина внутренней вершины $j$ . Вершины F и г находятся в фиксированных положениях 0 и 1 в $H$ .

Формула [ править ]

С учетом трех приведенных выше определений формула Концевича для звездного произведения теперь имеет вид

f*g=fg+\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {i\hbar }{2}}\right)^{n}\sum _{\Gamma \in G_{n}(2)}w_{\Gamma }B_{\Gamma }(f\otimes g).

Явная формула до второго порядка [ править ]

Обеспечение ассоциативности ★ -продуктового, это просто проверить непосредственно , что формула Концевич должна сократить, до второго порядка $ħ$ , просто

f*g=fg+{\tfrac {i\hbar }{2}}\Pi ^{ij}\partial _{i}f\,\partial _{j}g-{\tfrac {\hbar ^{2}}{8}}\Pi ^{i_{1}j_{1}}\Pi ^{i_{2}j_{2}}\partial _{i_{1}}\,\partial _{i_{2}}f\partial _{j_{1}}\,\partial _{j_{2}}g-{\tfrac {\hbar ^{2}}{12}}\Pi ^{i_{1}j_{1}}\partial _{j_{1}}\Pi ^{i_{2}j_{2}}(\partial _{i_{1}}\partial _{i_{2}}f\,\partial _{j_{2}}g-\partial _{i_{2}}f\,\partial _{i_{1}}\partial _{j_{2}}g)+{\mathcal {O}}(\hbar ^{3})

Ссылки [ править ]

↑ М. Концевич (2003), Деформационное квантование пуассоновских многообразий , Письма по математической физике 66 , стр. 157–216.
^ Каттанео, Альберто и Фелдер, Джованни (2000). "Интегральный подход к формуле квантования Концевича". Сообщения по математической физике . 212 (3): 591. arXiv : math / 9902090 . Bibcode : 2000CMaPh.212..591C . DOI : 10.1007 / s002200000229 .CS1 maint: uses authors parameter (link)

[1] М. Концевич (2003), Деформационное квантование пуассоновских многообразий , Письма по математической физике 66 , стр. 157–216.

[2] Каттанео, Альберто и Фелдер, Джованни (2000). "Интегральный подход к формуле квантования Концевича". Сообщения по математической физике . 212 (3): 591. arXiv : math / 9902090 . Bibcode : 2000CMaPh.212..591C . DOI : 10.1007 / s002200000229 .CS1 maint: uses authors parameter (link)

[1]