Интеграция чехарда

В численном анализе , интеграция чехарды является методом численного интегрирования дифференциальных уравнений вида

${\ displaystyle {\ ddot {x}} = d ^ {2} x / dt ^ {2} = A (x)}$,

или эквивалентно формы

${\ Displaystyle {\ точка {v}} = dv / dt = A (x), \; {\ dot {x}} = dx / dt = v}$,

в частности , в случае динамической системы из классической механики .

Этот метод известен под разными названиями в разных дисциплинах. В частности, он аналогичен скоростному методу Верле , который представляет собой вариант интегрирования Верле . Интеграция чехарда эквивалентна обновлению позиций и скоростей в чередующихся временных точках, смещенных таким образом, что они « перепрыгивают » друг через друга.${\ Displaystyle х (т)}$${\ Displaystyle v (т) = {\ точка {х}} (т)}$

Интеграция Leapfrog - это метод второго порядка, в отличие от интегрирования Эйлера , которое является только первым порядком, но требует того же количества вычислений функций на шаг. В отличие от интегрирования Эйлера, оно устойчиво для колебательного движения, пока шаг по времени постоянен, и . ^[1]${\ displaystyle \ Delta t}$${\ displaystyle \ Delta t \ leq 2 / \ omega}$

Используя коэффициенты Йошиды, многократно применяя интегратор-чехарду с правильными временными шагами, можно сгенерировать интегратор гораздо более высокого порядка.

Алгоритм [ править ]

При интегрировании чехарда уравнения для обновления положения и скорости следующие:

${\ displaystyle {\ begin {align} a_ {i} & = A (x_ {i}), \\ v_ {i + 1/2} & = v_ {i-1/2} + a_ {i} \, \ Delta t, \\ x_ {i + 1} & = x_ {i} + v_ {i + 1/2} \, \ Delta t, \ end {выровнено}}}$

где - положение на шаге , - скорость или первая производная от шага ; - ускорение или вторая производная от шага ; - размер каждого временного шага. Эти уравнения могут быть выражены в форме, которая также дает скорость с целыми шагами: ^[2]${\ displaystyle x_ {i}}$${\ displaystyle i}$${\ Displaystyle v_ {я + 1/2 \,}}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle я + 1/2 \,}$${\ Displaystyle а_ {я} = А (х_ {я})}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ Delta t}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{i+1}&=x_{i}+v_{i}\,\Delta t+{\tfrac {1}{2}}\,a_{i}\,\Delta t^{\,2},\\v_{i+1}&=v_{i}+{\tfrac {1}{2}}(a_{i}+a_{i+1})\,\Delta t.\end{aligned}}}$

Однако даже в этой синхронизированной форме временной шаг должен быть постоянным для поддержания стабильности. ^[3]${\displaystyle \Delta t}$

Синхронизированная форма может быть преобразована в форму «кик-дрифт-кик»;

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{i+1/2}&=v_{i}+a_{i}{\frac {\Delta t}{2}},\\x_{i+1}&=x_{i}+v_{i+1/2}\Delta t,\\v_{i+1}&=v_{i+1/2}+a_{i+1}{\frac {\Delta t}{2}},\end{aligned}}}$

который в основном используется там, где требуются переменные временные шаги. Разделение вычисления ускорения на начало и конец шага означает, что если временное разрешение увеличивается в два раза ( ), то требуется только одно дополнительное (затратное в вычислительном отношении) вычисление ускорения.${\displaystyle \Delta t\rightarrow \Delta t/2}$

Одно из применений этого уравнения - моделирование силы тяжести, поскольку в этом случае ускорение зависит только от положения гравитирующих масс (а не от их скоростей), хотя интеграторы более высокого порядка (такие как методы Рунге – Кутты ) используются чаще. .

Применительно к задачам механики резкая интеграция имеет две основные сильные стороны. Первый - это обратимость во времени метода чехарды. Можно интегрировать n шагов вперед , а затем изменить направление интегрирования и интегрировать назад n шагов, чтобы прийти к той же начальной позиции. Вторая сильная сторона - это его симплектическая природа, которая подразумевает, что он сохраняет (слегка измененную) энергию динамических систем. Это особенно полезно при вычислении орбитальной динамики, поскольку многие другие схемы интегрирования, такие как метод Рунге – Кутты (порядок 4) , не сохраняют энергию и позволяют системе существенно дрейфовать во времени.

Из-за своей обратимости во времени и поскольку это симплектический интегратор , интеграция чехарда также используется в гамильтониане Монте-Карло , методе извлечения случайных выборок из распределения вероятностей, общая нормализация которого неизвестна. ^[4]

Алгоритмы Ёсида [ править ]

Интегратор чехарда может быть преобразован в интеграторы более высокого порядка с использованием методов, разработанных Харуо Йошида . В этом подходе чехарда применяется к нескольким различным временным шагам. Оказывается, что при последовательном использовании правильных временных шагов ошибки устраняются и могут быть легко получены интеграторы гораздо более высокого порядка. ^{[5] [6]}

Интегратор Ёсида 4-го порядка [ править ]

Один шаг в интеграторе Yoshida 4-го порядка требует четырех промежуточных шагов. Положение и скорость вычисляются в разное время. Требуются только три (дорогостоящие в вычислительном отношении) расчета ускорения.

Уравнения для интегратора 4-го порядка для обновления положения и скорости:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{i}^{1}&=x_{i}+c_{1}\,v_{i}\,\Delta t,\\v_{i}^{1}&=v_{i}+d_{1}\,a(x_{i}^{1})\,\Delta t,\\x_{i}^{2}&=x_{i}^{1}+c_{2}\,v_{i}^{1}\,\Delta t,\\v_{i}^{2}&=v_{i}^{1}+d_{2}\,a(x_{i}^{2})\,\Delta t,\\x_{i}^{3}&=x_{i}^{2}+c_{3}\,v_{i}^{2}\,\Delta t,\\v_{i}^{3}&=v_{i}^{2}+d_{3}\,a(x_{i}^{3})\,\Delta t,\\x_{i+1}&\equiv x_{i}^{4}=x_{i}^{3}+c_{4}\,v_{i}^{3}\,\Delta t,\\v_{i+1}&\equiv v_{i}^{4}=v_{i}^{3}\\\end{aligned}}}$

где - начальное положение и скорость, - промежуточное положение и скорость на промежуточном этапе , - это ускорение в положении , а - конечное положение и скорость для одного шага Йошида 4-го порядка.${\displaystyle x_{i},v_{i}}$${\displaystyle x_{i}^{n},v_{i}^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a(x_{i}^{n})}$${\displaystyle x_{i}^{n}}$${\displaystyle x_{i+1},v_{i+1}}$

Коэффициенты и получены в ^[6] (см. Уравнение (4.6))${\displaystyle (c_{1},c_{2},c_{3},c_{4})}$${\displaystyle (d_{1},d_{2},d_{3})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}&\equiv -{\frac {\sqrt[{3}]{2}}{2-{\sqrt[{3}]{2}}}},\\w_{1}&\equiv {\frac {1}{2-{\sqrt[{3}]{2}}}},\\c_{1}&=c_{4}\equiv {\frac {w_{1}}{2}},c_{2}=c_{3}\equiv {\frac {w_{0}+w_{1}}{2}},\\d_{1}&=d_{3}\equiv w_{1},d_{2}\equiv w_{0}\\\end{aligned}}}$

Все промежуточные шаги образуют один шаг, который подразумевает, что в сумме коэффициенты равны единице: и . Обратите внимание, что положение и скорость вычисляются в разное время, а некоторые промежуточные шаги выполняются в обратном направлении. Для иллюстрации приведем числовые значения коэффициентов:${\displaystyle \Delta t}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{4}c_{i}=1}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}d_{i}=1}$${\displaystyle c_{n}}$${\displaystyle c_{1}=0.6756,c_{2}=-0.1756,c_{3}=-0.1756,c_{4}=0.6756.}$

См. Также [ править ]

• Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений
• Симплектическая интеграция
• Интегрирование Эйлера
• Интеграция Верле
• Интеграция Рунге – Кутты

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• [1] , Физический факультет Дрексельского университета