Точка Лебега

В математике , если задана локально интегрируемая по Лебегу функция на , точка в области определения является точкой Лебега, если ^[1]${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {k}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle \ lim _ {r \ rightarrow 0 ^ {+}} {\ frac {1} {| B (x, r) |}} \ int _ {B (x, r)} \! | f (y ) -f (x) | \, \ mathrm {d} y = 0.}$

Здесь - шар с центром и радиусом , а - его мера Лебега . Таким образом, точки Лебега являются точками, в которых не слишком сильно колеблется в среднем смысле. ^[2]${\ Displaystyle В (х, г)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle r> 0}$${\ Displaystyle | В (х, г) |}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Теорема Лебега о дифференцировании утверждает, что для любого , почти каждый является точкой Лебега . ^[3]${\ Displaystyle е \ в L ^ {1} (\ mathbb {R} ^ {k})}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f}$

Ссылки [ править ]