В математике , то Лебегу дифференцировка теорема является теоремой реального анализа , в котором говорится , что для почти каждой точки, значение интегрируемой функции предел бесконечно малых средних , взятых относительно точки. Теорема названа в честь Анри Лебега .
Заявление
Для интегрируемой по Лебегу вещественной или комплекснозначной функции f на R n неопределенный интеграл - это функция множества, которая отображает измеримое множество A в интеграл Лебега от, где обозначает характеристическую функцию множества A . Обычно пишут
где λ - n -мерная мера Лебега .
Производной этого интеграла при х определяется как
где | B | обозначает объем ( т. е. меру Лебега) шара B с центром в x , а B → x означает, что диаметр B стремится к 0.
Теорема Лебега о дифференцировании ( Lebesgue, 1910 ) утверждает, что эта производная существует и равна f ( x ) почти в каждой точке x ∈ R n . [1] На самом деле верно несколько более сильное утверждение. Обратите внимание, что:
Более сильное утверждение состоит в том, что правая часть стремится к нулю почти для каждой точки x . Точки x, для которых это верно, называются точками Лебега функции f .
Верна и более общая версия. Можно заменить шары B семействоммножеств U с ограниченным эксцентриситетом . Это означает, что существует некоторое фиксированное c > 0 такое, что каждое множество U из семейства содержится в шаре B с. Также предполагается, что каждая точка x ∈ R n содержится в сколь угодно малых множествах из. Когда эти наборы стягиваются к й , тот же результат имеет место для почти каждой точку х ,
Семейство кубиков - пример такого семейства. , как и семья ( М ) прямоугольники в R 2 такие , что соотношение сторон пребывания между м -1 и м , при некотором фиксированном т ≥ 1. Если произвольная норма задана на R п , семейство шаров для метрики , связанных с нормой другой пример.
Одномерный случай ранее был доказан Лебегом (1904 г.) . Если f интегрируема на действительной прямой, функция
почти всюду дифференцируема, причем Мы определенная интегралом Римана, это была бы по существу фундаментальная теорема исчисления , но Лебег доказал, что она остается верной при использовании интеграла Лебега. [2]
Доказательство
Теорема в ее более сильной форме о том, что почти каждая точка является точкой Лебега локально интегрируемой функции f, может быть доказана как следствие слабых оценок –L 1 для максимальной функции Харди – Литтлвуда . Приведенное ниже доказательство следует стандартной трактовке, которую можно найти у Бенедетто и Чая (2009) , Штейна и Шакарчи (2005) , Уидена и Зигмунда (1977) и Рудина (1987) .
Поскольку утверждение носит локальный характер, можно считать , что f равно нулю вне некоторого шара конечного радиуса и, следовательно, интегрируемо. Тогда достаточно доказать, что множество
имеет меру 0 для всех α > 0.
Пусть дано ε > 0. Использование плотности из непрерывных функций на компактные поддержки в L 1 ( R п ) , можно найти такую функцию г , удовлетворяющий
Затем полезно переписать основное различие как
Первый член может быть ограничен значением в x максимальной функции для f - g , обозначаемой здесь как:
Второй член исчезает в пределе, поскольку g - непрерывная функция, а третий член ограничен | f ( x ) - g ( x ) |. Чтобы абсолютное значение исходной разности было больше 2 α в пределе, по крайней мере, один из первых или третьих членов должен быть больше, чем α по абсолютной величине. Однако оценка функции Харди – Литтлвуда говорит, что
для некоторой константы A n, зависящей только от размерности n . Неравенство Маркова (также называемое неравенством Чебышева в) говорит , что
откуда
Поскольку ε было произвольным, его можно считать сколь угодно малым, и теорема следует.
Обсуждение доказательств
Покрытие лемма Виталия имеет жизненно важное значение для доказательства этой теоремы; его роль заключается в доказательстве оценки максимальной функции Харди – Литтлвуда .
Теорема также верна, если шары заменены в определении производной семействами множеств с диаметром, стремящимся к нулю, удовлетворяющими условию регулярности Лебега , определенному выше как семейство множеств с ограниченным эксцентриситетом . Это следует из того, что такую же замену можно сделать в формулировке леммы Витали о покрытии.
Обсуждение
Это аналог и обобщение основной теоремы исчисления , которая уравнивает интегрируемую функцию Римана и производную от ее (неопределенного) интеграла. Также возможно показать обратное - что каждая дифференцируемая функция равна интегралу от своей производной, но для этого требуется интеграл Хенстока – Курцвейла , чтобы иметь возможность интегрировать произвольную производную.
Частным случаем теоремы Лебега о дифференцировании является теорема Лебега о плотности , которая эквивалентна теореме о дифференцировании для характеристических функций измеримых множеств. Теорема плотности обычно доказывается более простым методом (например, см. Мера и Категория).
Эта теорема также верна для любой конечной борелевской меры на R n вместо меры Лебега (доказательство можно найти, например, в ( Ledrappier & Young 1985 ) ). В более общем плане это верно для любой конечной борелевской меры на сепарабельном метрическом пространстве, такой что выполняется хотя бы одно из следующего:
- метрическое пространство - риманово многообразие ,
- метрическое пространство - это локально компактное ультраметрическое пространство ,
- мера удваивается .
Доказательство этих результатов можно найти в разделах 2.8–2.9 (Federer, 1969).
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Folland, GB (1999). Реальный анализ: современные методы и их приложения (2-е изд.). Нью-Йорк: Вили. С. Глава 3. ISBN 0-471-31716-0. OCLC 39849337 .
- ^ Макдональд, Джон Н. (2013). Курс реального анализа . Н.А. Вайс (2-е изд.). Бостон, Массачусетс: Academic Press / Elsevier. ISBN 978-0-12-387774-1. OCLC 754105634 .
- Лебег, Анри (1904). Уроки интеграции и исследования примитивов функций . Париж: Готье-Виллар.
- Лебег, Анри (1910). "Sur l'intégration des fonctions прекращается" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 27 : 361–450. DOI : 10,24033 / asens.624 .
- Уиден, Ричард Л .; Зигмунд, Антони (1977). Измерение и интеграл - введение в реальный анализ . Марсель Деккер.
- Окстоби, Джон С. (1980). Мера и категория . Springer Verlag.
- Штейн, Элиас М .; Шакарчи, Рами (2005). Реальный анализ . Принстонские лекции по анализу, III. Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. С. xx + 402. ISBN 0-691-11386-6. МИСТЕР2129625
- Бенедетто, Джон Дж .; Czaja, Войцех (2009). Интеграция и современный анализ . Birkhäuser Advanced Texts. Springer. С. 361–364. ISBN 978-0817643065.
- Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике (3-е изд.). Макгроу – Хилл. ISBN 0070542341.
- Ledrappier, F .; Янг, LS (1985). "Метрическая энтропия диффеоморфизмов: Часть I: Характеристика мер, удовлетворяющих формуле энтропии Песина". Анналы математики . 122 (3): 509–539. DOI : 10.2307 / 1971328 . JSTOR 1971328 .
- Федерер, Герберт (1969). Геометрическая теория меры . Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Band. 153 . Нью-Йорк: Springer-Verlag New York Inc.