Неравенство Маркова дает верхнюю границу для меры множества (отмеченного красным), где превышает заданный уровень . Граница совмещает уровень со средним значением .
Неравенство Маркова (и другие подобные неравенства) связывают вероятности с ожиданиями и предоставляют (часто нечеткие, но все же полезные) границы для кумулятивной функции распределения случайной величины.
Если X - неотрицательная случайная величина и a > 0 , то вероятность того, что X не меньше a , не превышает математического ожидания X деленного на a : [1]
Пусть (где ); то мы можем переписать предыдущее неравенство как
Мы отделяем случай, когда пространство с мерой является вероятностным пространством, от более общего случая, потому что вероятностный случай более доступен для обычного читателя.
где больше 0, поскольку rv неотрицательно и больше, чем потому, что условное математическое ожидание учитывает только значения, большие, чем может принимать rv .
Отсюда интуитивно , что напрямую ведет к .
Доказательство на языке теории вероятностей [ править ]
Метод 1:
Из определения ожидания:
Однако X - неотрицательная случайная величина, поэтому
Из этого мы можем вывести,
Отсюда разделение на позволяет нам увидеть, что
Метод 2:
Для любого события позвольте быть индикаторной случайной величиной , то есть, если происходит, и в противном случае.
Используя это обозначение, мы имеем, если событие происходит, и если . Тогда, учитывая ,
что станет ясно, если мы рассмотрим два возможных значения . Если , то и так . В противном случае имеем , за что и так .
Поскольку это монотонно возрастающая функция, ожидание обеих сторон неравенства не может изменить ее. Следовательно,
Теперь, используя линейность ожиданий, левая часть этого неравенства совпадает с
Таким образом, мы имеем
и поскольку a > 0, мы можем разделить обе части на a .
Можно считать, что функция неотрицательна, поскольку в уравнение входит только ее абсолютное значение. Теперь рассмотрим действительную функцию s на X, заданную формулой
и поскольку обе стороны могут быть разделены на , получая
Следствия [ править ]
Неравенство Чебышева [ править ]
Неравенство Чебышева использует дисперсию для ограничения вероятности того, что случайная величина далеко отклоняется от среднего. Конкретно,
для любого a > 0 . Здесь Var ( X ) - это дисперсия X, определяемая как:
Неравенство Чебышева следует из неравенства Маркова при рассмотрении случайной величины
и константа, для которой неравенство Маркова имеет вид
Этот аргумент можно резюмировать (где «МИ» указывает на использование неравенства Маркова):
Другие следствия [ править ]
«Монотонный» результат можно продемонстрировать:
Результат , что для неотрицательного случайной величины X , то квантиль функции из X удовлетворяет:
доказательство с использованием
Пусть - самосопряженная матричнозначная случайная величина и a > 0 . потом
можно показать аналогичным образом.
Примеры [ править ]
Если предположить, что нет отрицательного дохода, неравенство Маркова показывает, что не более 1/5 населения может иметь доход более чем в 5 раз больше среднего.
См. Также [ править ]
Неравенство Пэли – Зигмунда - соответствующая нижняя оценка
Неравенство концентрации - сводка хвостовых границ случайных величин.
Ссылки [ править ]
^ "Неравенства Маркова и Чебышева" . Проверено 4 февраля +2016 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
^ Штейн, EM ; Шакарчи Р. (2005), Реальный анализ , Принстонские лекции по анализу , 3 (1-е изд.), Стр. 91.
Внешние ссылки [ править ]
Формальное доказательство неравенства Маркова в системе Мицара .
Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники: «Марковское неравенство» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( сентябрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )