Удвоение пространства

В математике , А метрическое пространство X с метрикой д называется удвоение , если есть некоторые удвоения константы М > 0 , что для любого х ∈ X и г > 0 , то можно покрыть шар B ( х , г ) = { y | d ( x , y ) < r } с объединением не более M шаров радиусар/2. ^[1] База-2 логарифм М часто называют как удвоение размерности в X . Евклидовы пространства ℝ ^d, снабженные обычной евклидовой метрикой, являются примерами пространств удвоения, где константа удвоения M зависит от размерности  d . Например, в одном измерении M = 2 ; и в двух измерениях M = 7 . ^[2]

Теорема вложения Асуада [ править ]

Важный вопрос в геометрии метрических пространств - охарактеризовать те метрические пространства, которые могут быть вложены в некоторое евклидово пространство с помощью билипшицевой функции. Это означает, что метрическое пространство можно рассматривать как подмножество евклидова пространства. Не все метрические пространства могут быть вложены в евклидово пространство. С другой стороны, удвоение метрических пространств, казалось бы, имеет больше шансов, поскольку условие удвоения в некотором смысле говорит о том, что метрическое пространство не бесконечномерно. Однако в целом это все еще не так. Группа Гейзенберга с ее метрикой Карно является примером удваивающего метрического пространства, которое не может быть вложено ни в одно евклидово пространство. ^[3]

Теорема Ассуада утверждает, что для M- удваивающего метрического пространства X , если мы дадим ему метрику d ( x ,  y ) ^ε для некоторого 0 <  ε  <1, то существует L- би-липшицево отображение f : X  →  ℝ ^d , где d и L зависят от M и  ε .

Меры по удвоению [ править ]

Определение [ править ]

Нетривиальная мера на метрическом пространстве X называется удваивающей, если мера любого шара конечна и приближенно мера его дубля, или, точнее, если существует постоянная C  > 0 такая, что

${\ Displaystyle 0 <\ му (В (х, 2r)) \ Leq С \ му (В (х, г)) <\ infty \,}$

для всех x из X и r  > 0. В этом случае мы говорим, что μ является C-удвоением .

Метрика пространство меры , которая поддерживает удвоение меры обязательно удвоение метрического пространства, где удваивая константа зависит от константы  C . Наоборот, каждое полное метрическое пространство удвоения поддерживает меру удвоения. ^{[4] [5]}

Примеры [ править ]

Простым примером меры удвоения является мера Лебега на евклидовом пространстве. Однако на евклидовом пространстве могут быть меры удвоения, сингулярные относительно меры Лебега. Одним из примеров на реальной прямой является слабый предел следующей последовательности мер: ^[6]

${\ displaystyle d \ mu _ {n} = \ prod _ {i = 1} ^ {n} (1 + a \ cos (3 ^ {i} 2 \ pi x)) \, dx, \; \; \ ; | a | <1.}$

Можно построить другую особую меру удвоения μ на интервале [0, 1] следующим образом: для каждого k  ≥ 0 разделить единичный интервал [0,1] на 3 ^k интервалов длины 3 ^{- k} . Пусть Δ - набор всех таких интервалов в [0,1], полученный для каждого k (это триадные интервалы ), и для каждого такого интервала I пусть m ( I ) обозначает его интервал «средней трети». Фикс 0 <  δ  <1 , и пусть μ является мерой такой , что μ ([0, 1]) = 1 и для каждого интервала триадического I , М ( м( I )) =  δμ ( I ). Тогда это дает меру удвоения на [0, 1], особую для меры Лебега. ^[7]

Приложения [ править ]

Определение меры удвоения может показаться произвольным или представляет чисто геометрический интерес. Однако многие результаты классического гармонического анализа и вычислительной геометрии распространяются на метрические пространства с мерами удвоения.

Ссылки [ править ]