Лемма Витали о покрытии

В математике , то покрытие леммы Витали является комбинаторной и геометрический результат обычно используется в теории меры в евклидовых пространствах . Эта лемма представляет собой промежуточный шаг, представляющий самостоятельный интерес, в доказательстве теоремы Витали о покрытии . Теорема о покрытии принадлежит итальянскому математику Джузеппе Витали . ^[1] Теорема утверждает, что можно покрыть, с точностью до множества , пренебрежимо малым по Лебегу , данное подмножество E   в R ^d дизъюнктным семейством, извлеченным из покрытия Витали множестваE .

Лемма Витали о покрытии [ править ]

Визуализация леммы в .${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {1}}$

Вверху: набор шаров; зеленые шары - непересекающиеся подколлекции. Внизу: подколлекция с трехкратным радиусом покрывает все шары.

Формулировка леммы [ править ]

• Конечная версия: Пусть будет любой конечный набор шаров, содержащихся в d- мерном евклидовом пространстве R ^d (или, в более общем смысле, в произвольном метрическом пространстве ). Тогда существует подколлекция этих шаров, которые не пересекаются и удовлетворяют${\ Displaystyle B_ {1}, \ ldots, B_ {n}}$ ${\displaystyle B_{j_{1}},B_{j_{2}},\dots ,B_{j_{m}}}$

${\displaystyle B_{1}\cup B_{2}\cup \ldots \cup B_{n}\subseteq 3B_{j_{1}}\cup 3B_{j_{2}}\cup \ldots \cup 3B_{j_{m}}}$

где обозначает шар с тем же центром, но с трехкратным радиусом.${\displaystyle 3B_{j_{k}}}$${\displaystyle B_{j_{k}}}$

• Бесконечная версия: пусть будет произвольный набор шаров в R ^d (или, в более общем смысле, в сепарабельном метрическом пространстве), такой что${\displaystyle \{B_{j}:j\in J\}}$

${\displaystyle \sup \,\{\mathrm {rad} (B_{j}):j\in J\}<\infty }$

где обозначает радиус шара B _j . Тогда существует счетная подгруппа${\displaystyle \mathrm {rad} (B_{j})}$

${\displaystyle \{B_{j}:j\in J'\},\quad J'\subset J}$

шаров из исходной коллекции, которые не пересекаются и удовлетворяют

${\displaystyle \bigcup _{j\in J}B_{j}\subseteq \bigcup _{j\in J'}5\,B_{j}.}$

Комментарии .

• Шары могут иметь форму B  = { y  :  d ( y ,  c ) <  r } (открытый шар с центром c и радиусом r ) или B  = { y  :  d ( y ,  c ) ≤  r }. Тогда 3  B (или 5  B ) обозначает шар той же формы, с 3  r (или 5  r ) вместо r . Обратите внимание, что определение шаров требует r  > 0.
• В бесконечной версии набор шаров может быть счетным или несчетным .
• Результат может быть неудачным, если радиусы не ограничены: рассмотрим семейство всех шаров с центром в 0 в R ^d ; любое непересекающееся подсемейство состоит только из одного шара B , а 5  B не содержит всех шаров этого семейства.
• В контексте общего метрического пространства (т. Е. Не обязательно разделяемого) результирующая подгруппа не может быть счетно бесконечной.

Доказательство [ править ]

Конечная версия [ править ]

Без ограничения общности считаем, что набор шаров не пустой; то есть n  > 0. Позвольте быть шар наибольшего радиуса. Индуктивно предположим, что были выбраны. Если в нем есть какой-то шар, который не пересекается , пусть это будет такой шар с максимальным радиусом (разрывая связи произвольно), в противном случае мы устанавливаем m  : = k и завершаем индуктивное определение.${\displaystyle B_{j_{1}}}$${\displaystyle B_{j_{1}},\dots ,B_{j_{k}}}$${\displaystyle B_{1},\dots ,B_{n}}$${\displaystyle B_{j_{1}}\cup B_{j_{2}}\cup \cdots \cup B_{j_{k}}}$${\displaystyle B_{j_{k+1}}}$

Теперь ставим . Осталось показать, что для каждого . Это ясно, если . В противном случае обязательно найдутся такие, что B _i пересекается, и радиус их не меньше, чем у B _i . Тогда из неравенства треугольника легко следует это при необходимости. Это завершает доказательство конечной версии.${\displaystyle X:=\bigcup _{k=1}^{m}3\,B_{j_{k}}}$${\displaystyle B_{i}\subset X}$${\displaystyle i=1,2,\dots ,n}$${\displaystyle i\in \{j_{1},\dots ,j_{m}\}}$${\displaystyle k\in \{1,\dots ,m\}}$${\displaystyle B_{j_{k}}}$${\displaystyle B_{j_{k}}}$${\displaystyle B_{i}\subset 3\,B_{j_{k}}\subset X}$

Бесконечная версия [ править ]

Обозначим через F совокупность всех шаров B _j , j  ∈ J , которые указаны в формулировке леммы о покрытии . Следующий результат дает определенный непересекающиеся субколлекции G из F . Если эту подгруппу G описать как , свойство G , указанное ниже, легко доказывает, что${\displaystyle \{B_{j},j\in J'\}}$

${\displaystyle \bigcup _{j\in J}B_{j}\subseteq \bigcup _{j\in J'}5\,B_{j}.}$

Точная форма леммы о покрытии. Пусть   F - набор (невырожденных) шаров в метрическом пространстве с ограниченными радиусами. Существует непересекающаяся подгруппа   G группы   F со следующим свойством:

каждый шар B в   F пересекает шар C в   G такой, что B ⊂ 5 C.

( Дегенеративные шарики содержат только центр, они исключены из этого обсуждения.)
Пусть R   верхняя грань радиусов шаров в F . Рассмотрим разбиение F на подколлекции F _n , n  ≥ 0, состоящие из шаров B   , радиус которых лежит в (2 ^{- n −1} R , 2 ^{- n} R ]. Определена последовательность G _n , где G _n  ⊂ F _n , индуктивно следующим образом. Сначала положим H ₀  = F ₀и пусть G ₀ - максимальная непересекающаяся подгруппа в H ₀ . Предполагая, что выбраны G ₀ , ..., G _n , пусть

${\displaystyle \mathbf {H} _{n+1}=\{B\in \mathbf {F} _{n+1}:\ B\cap C=\emptyset ,\ \ \forall C\in \mathbf {G} _{0}\cup \mathbf {G} _{1}\cup \ldots \cup \mathbf {G} _{n}\},}$

и пусть G _{n +1} - максимальная непересекающаяся подгруппа в H _{n +1} . Подколлекция

${\displaystyle \mathbf {G} :=\bigcup _{n=0}^{\infty }\mathbf {G} _{n}}$

из F удовлетворяет требованиям: G представляет собой набор не пересекаются, и каждый шар B  ∈ F пересекает шар C  ∈ G такое , что B  ⊂ 5  C .
Действительно, пусть n   таково, что B   принадлежит F _n . Либо B   не принадлежит H _n , что влечет n  > 0 и означает, что B   пересекает шар из объединения G ₀ , ..., G _{n −1} , либо B  ∈H _n и в силу максимальности G _n , B   пересекает шар в G _n . В любом случае B   пересекает шар C   , принадлежащий объединению G ₀ , ..., G _n . Такой шар С   имеет радиус> 2 ^{- н -1} R . Поскольку радиус B   ≤ 2 ^{- n} R , он меньше, чем в два раза, чем у C,   и вывод B  ⊂ 5  C   следует из неравенства треугольника, как и в конечной версии.^[2]

Замечания [ править ]

• Константа 5 не оптимальна. Если масштаб c ^{- n} , c  > 1, используется вместо 2 ^{- n} для определения F _n , окончательное значение будет 1 + 2 c вместо 5. Любая константа больше 3 дает правильную формулировку леммы, но не 3.
• В наиболее общем случае произвольного метрического пространства для выбора максимальной непересекающейся подгруппы требуется форма леммы Цорна .
• Используя более тонкий анализ, когда исходный набор F является покрытием Витали подмножества E   в R ^d , можно показать, что подгруппа G , определенная в приведенном выше доказательстве, покрывает E   до множества, пренебрежимо малым по Лебегу. ^[3]

Приложения и метод использования [ править ]

Применение леммы Витали заключается в доказательстве максимального неравенства Харди – Литтлвуда . Как и в этом доказательстве, Витали лемма часто используется , когда мы, например, рассматривая д - мерный мера Лебега , , из множества E  ⊂ R ^D , который мы знаем, содержится в объединении некоторого набора шаров , каждый из которых имеет меру, которую нам легче вычислить, или имеет особое свойство, которое хотелось бы использовать. Следовательно, если мы вычислим меру этого объединения, у нас будет верхняя оценка меры E${\displaystyle \lambda _{d}}$ ${\displaystyle \{B_{j}:j\in J\}}$. Однако трудно вычислить меру объединения всех этих шаров, если они перекрываются. По лемме Витали мы можем выбрать непересекающееся подмножество такое, что . Следовательно,${\displaystyle \{B_{j}:j\in J'\}}$${\displaystyle \bigcup _{j\in J'}5B_{j}\supset \bigcup _{j\in J}B_{j}\supset E}$

${\displaystyle \lambda _{d}(E)\leq \lambda _{d}{\Bigl (}\bigcup _{j\in J}B_{j}{\Bigr )}\leq \lambda _{d}{\Bigl (}\bigcup _{j\in J'}5B_{j}{\Bigr )}\leq \sum _{j\in J'}\lambda _{d}(5B_{j}).}$

Теперь, поскольку увеличение радиуса d- мерного шара в пять раз увеличивает его объем в 5 ^дней , мы знаем, что

${\displaystyle \sum _{j\in J'}\lambda _{d}(5B_{j})=5^{d}\sum _{j\in J'}\lambda _{d}(B_{j})}$

и поэтому

${\displaystyle \lambda _{d}(E)\leq 5^{d}\sum _{j\in J'}\lambda _{d}(B_{j}).}$

Теорема Витали о покрытии [ править ]

В теореме о покрытии цель состоит в том, чтобы покрыть, с точностью до   «незначительного множества», данное множество E  ⊆  R ^d непересекающимся поднабором, извлеченным из покрытия Витали для  E  : класс Витали или покрытие Витали для E   представляет собой набор множества такие , что для любых х  ∈  E   и δ  > 0, существует множество U   в коллекции , такие , что х  ∈  U   и диаметре от U   отличен от нуля и меньше , чем  б .${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

В классической ситуации Витали ^[1] пренебрежимо малое множество является пренебрежимо малым множеством Лебега , но также рассматривались меры, отличные от меры Лебега, и пространства, отличные от R ^d , как показано в соответствующем разделе ниже.

Следующее наблюдение полезно: если это покрытие Витали для E ,   и если Е   содержится в открытом множестве Ом  ⊆  R ^д , то поднабором множеств U   в том , что содержатся в Q ,   также Виталий покрытие для Е .${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

Теорема Витали о покрытии для меры Лебега [ править ]

Следующая теорема о покрытии для меры Лебега λ _d принадлежит Лебегу (1910) . Набор измеримых подмножеств R ^d является регулярным семейством (в смысле Лебега ), если существует константа C   такая, что${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle \mathrm {diam} (V)^{d}\leq C\,\lambda _{d}(V)}$

для каждого набора V   в коллекции . Семейство кубов является примером регулярной семьи , как семья ( м ) прямоугольников в R ² такие , что соотношение сторон пребывания между м ^-1 и м , при некотором фиксированном т  ≥ 1. Если произвольная норма даются на R ^d семейство шаров для метрики, связанной с нормой, является другим примером. Напротив, семейство всех   прямоугольников R ² является не   регулярным.${\displaystyle {\mathcal {V}}}$
${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

Теорема. Пусть E  ⊆  R ^d измеримое множество с конечной мерой Лебега, и пусть регулярное семейство замкнутых подмножеств R ^D , который является Виталий покрытие для Е . Тогда существует конечная или счетно бесконечная непересекающаяся подгруппа такая, что${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle \{U_{j}\}\subseteq {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle \lambda _{d}{\Bigl (}E\setminus \bigcup _{j}U_{j}{\Bigr )}=0.}$

Исходный результат Витали (1908) является частным случаем этой теоремы, в которой d  = 1 и представляет собой набор интервалов, который является покрытием Витали для измеримого подмножества E   действительной прямой, имеющей конечную меру. Приведенная выше теорема остается верной без предположения, что E   имеет конечную меру. Это достигается применением результата покрытия в случае конечной меры для любого целого числа n  ≥ 0 к части E,   содержащейся в открытом кольце Ω _n точек x, таких что n  <| х | < п +1. ^[4]${\displaystyle {\mathcal {V}}}$

Схожая теорема о покрытии - это теорема Безиковича о покрытии . Каждой точке a подмножества A  ⊆  R ^d соответствует евклидов шар B ( a ,  r _a ) с центром a и положительным радиусом r _a . Затем, как в теореме Витали, выбирается подколлекция этих шаров, чтобы покрыть A определенным образом. Основные отличия от теоремы Витали о покрытии состоят в том, что, с одной стороны, требование дизъюнктности Витали ослаблено до того факта, что число N _x выбранных шаров, содержащих произвольную точкуx  ∈  R ^d ограничено константой B _d,   зависящей только от размерности d ; с другой стороны, выбранные шары покрывают множество A всех данных центров. ^[5]

Теорема Витали о покрытии для меры Хаусдорфа [ править ]

У кого-то может быть аналогичная цель при рассмотрении меры Хаусдорфа вместо меры Лебега. В этом случае применима следующая теорема. ^[6]

Теорема. Пусть H ^сек обозначат сек мерной меры Хаусдорфа, пусть E  ⊆  R ^d будет H ^ы - измеримое множество и класс Виталия замкнутых множеств для Е . Тогда существует (конечная или счетно бесконечная) непересекающаяся подгруппа такая, что либо${\displaystyle {\mathcal {V}}}$${\displaystyle \{U_{j}\}\subseteq {\mathcal {V}}}$

${\displaystyle H^{s}\left(E\backslash \bigcup _{j}U_{j}\right)=0\ {\mbox{ or }}\sum _{j}\mathrm {diam} (U_{j})^{s}=\infty .}$

Кроме того, если E   имеет конечную s -мерную меру Хаусдорфа, то для любого ε  > 0 мы можем выбрать эту подгруппу { U _j } так, что

${\displaystyle H^{s}(E)\leq \sum _{j}\mathrm {diam} (U_{j})^{s}+\varepsilon .}$

Из этой теоремы следует приведенный выше результат Лебега. Действительно, при s  = d мера Хаусдорфа H ^s на R ^d совпадает с кратной d -мерной мере Лебега. Если непересекающийся набор регулярен и содержится в измеримой области B   с конечной мерой Лебега, то${\displaystyle \{U_{j}\}}$

${\displaystyle \sum _{j}\mathrm {diam} (U_{j})^{d}\leq C\sum _{j}\lambda _{d}(U_{j})\leq C\,\lambda _{d}(B)<+\infty }$

что исключает вторую возможность первого утверждения предыдущей теоремы. Отсюда следует, что E   покрывается с точностью до множества, которым можно пренебречь по Лебегу, выбранной непересекающейся подколлекцией.

От леммы о покрытии к теореме о покрытии [ править ]

Лемму о покрытии можно использовать как промежуточный шаг в доказательстве следующей основной формы теоремы Витали о покрытии. На самом деле нужно немного больше, а именно точная форма леммы о покрытии, полученная в «доказательстве бесконечной версии» .

Теорема. Для любого подмножества E в   R ^d и любого накрытия Витали E набором   F замкнутых шаров существует непересекающееся подмножество   G, которое покрывает E с точностью до множества, пренебрежимо малым по Лебегу.

Без ограничения общности можно считать, что все шары в F невырождены и имеют радиус ≤ 1. По уточненной форме леммы о покрытии существует непересекающаяся подгруппа G в F такая, что каждый шар B  ∈ F пересекает шар C  ∈ G , для которого B  ⊂ 5  С . Пусть  дано r > 0, и пусть Z   обозначает множество точек z  ∈ E   , не содержащихся ни в одном шаре из G и принадлежащих открытому шару B (r ) радиуса r с центром в 0. Достаточно показать, что Z   пренебрежимо мало по Лебегу для каждого данного r .

Обозначим через G   подколлекцию тех шаров в G, которые пересекаются с B ( r ). Рассмотрим разбиение G   на множества G _n , n  ≥ 0, состоящие из шаров, имеющих радиус в (2 ^{−n − 1} , 2 ⁻ⁿ ]. Любой шар B   в F, который пересекает B ( r ), содержится в B ( r +2). Из свойства дизъюнктности группы G следует, что

${\displaystyle \sum \{\lambda _{d}(C):C\in G\}=\sum _{n=0}^{\infty }{\Bigl (}\sum \{\lambda _{d}(C):C\in G_{n}\}{\Bigr )}\leq \lambda _{d}(B(r+2))<+\infty .}$

Отсюда следует, что G _n - конечное множество для любого n . Для ε  > 0 мы можем выбрать N так   , чтобы

${\displaystyle \sum \{\lambda _{d}(C):C\in G_{n},\,n>N\}<\varepsilon .}$

Пусть z  ∈ Z   фиксировано. По определению Z , эта точка г не принадлежит замкнутому множеству К ,   равной (конечному) объединению шаров в G _к , к  ≤ N . Под крышкой собственности Виталия, можно найти шар B  ∈ F , содержащий г , содержащийся в B ( г ) и не пересекается с K . По свойству G шар B   пересекает C   и входит в 5  C   для некоторого шара C  ∈G . Видно , что С  ∈ G ,   поскольку C   пересекает В ( г ), но С   не принадлежит к какой - либо семьи G _к , к  ≤ N , так как B   соответствует C ,   но не пересекается с K . Это доказывает, что каждая точка z  ∈ Z   содержится в объединении 5  C , когда C   меняется в G _n , n  > N , поэтому

${\displaystyle Z\subset U_{N}:=\bigcup \,\{5\,C:C\in G_{n},\,n>N\}}$

и

${\displaystyle \lambda _{d}(U_{N})\leq \sum \{\lambda _{d}(5\,C):C\in G_{n},\,n>N\}=5^{d}\sum \{\lambda _{d}(C):C\in G_{n},\,n>N\}<5^{d}\varepsilon .}$

Поскольку ε  > 0 произвольно, это показывает, что Z   пренебрежимо мало. ^[7]

Бесконечномерные пространства [ править ]

Теорема Витали о покрытии неприменима в бесконечномерных условиях. Первый результат в этом направлении был дан Дэвидом Прейссом в 1979 году: ^[8] существует гауссовская мера γ на (бесконечномерном) сепарабельном гильбертовом пространстве H, так что теорема Витали о покрытии неверна для ( H , Borel ( H ),  γ ). Этот результат был усилен в 2003 году Ярославом Тишером: теорема Витали о покрытии фактически неверна для любой бесконечномерной гауссовской меры на любом (бесконечномерном) сепарабельном гильбертовом пространстве. ^[9]

См. Также [ править ]

• Теорема Безиковича о покрытии

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Эванс, Лоуренс С .; Гариепи, Рональд Ф. (1992), Теория меры и тонкие свойства функций , Исследования в области высшей математики, Бока-Ратон, Флорида : CRC Press , стр. Viii + 268, ISBN 0-8493-7157-0, Руководство по ремонту  1158660 , Zbl  0804.28001
• Фалконер, Кеннет Дж. (1986), Геометрия фрактальных множеств , Cambridge Tracts in Mathematics, 85 , Cambridge: Cambridge University Press , стр. Xiv + 162, ISBN 0-521-25694-1, Руководство по ремонту  0867284 , Zbl  0587.28004
• "Теорема Витали" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Лебегу, Анри (1910), "Sur l'Intégration де fonctions возможность прекращения" , Annales Scientifiques де l'Эколь Нормаль , 27 : 361-450, DOI : 10,24033 / asens.624 , JFM  41.0457.01
• Натансон И. П. (1955), Теория функций действительной переменной , Нью-Йорк: Frederick Ungar Publishing Co. , стр. 277, Руководство по ремонту  0067952 , Zbl  0064.29102
• Прейсс, Дэвид (1979), «Гауссовские меры и теоремы о покрытии», Commentatione Mathematicae Universitatis Carolinae , 20 (1): 95–99, ISSN  0010-2628 , MR  0526149 , Zbl  0386.28015
• Штейн, Элиас М .; Шакарчи, Рами (2005), Реальный анализ. Теория меры, интегрирование и гильбертовы пространства , Princeton Lectures in Analysis, III, Princeton, NJ : Princeton University Press, pp. Xx + 402, ISBN 0-691-11386-6, Руководство по ремонту  2129625 , Zbl  1081.28001
• Tišer, Ярослав (2003), "Виталий охватывает теорему в гильбертовом пространстве", Труды Американского математического общества , 355 (8): 3277-3289 (электронный), DOI : 10,1090 / S0002-9947-03-03296-3 , MR  1974687 , Zbl  1042,28014
• Виталий, Джузеппе (1908) [17 декабря 1907], "Суй GRUPPI ди Punti е Sulle funzioni ди variabili Reali" , Атти dell'Accademia делле Scienze ди Торино (на итальянском языке ), 43 : 75-92, JFM  39.0101.05(Перевод названия) « О группах точек и функциях вещественных переменных » - статья, содержащая первое доказательство теоремы Витали о покрытии .