В теории вероятностей , в уравнении Lindley , Lindley рекурсии или Lindley процессов [1] является дискретным временем стохастический процесс п , где п принимает целое число значений и:
- A n + 1 = max (0, A n + B n ).
Процессы этой формы могут использоваться для описания времени ожидания заявок в очереди или изменения длины очереди с течением времени. Идея была впервые предложена в ходе обсуждения после работы Кендалла 1951 года. [2] [3]
Время ожидания [ править ]
В первой статье Денниса Линдли по этому вопросу [4] уравнение используется для описания времени ожидания, которое испытывают клиенты в очереди с дисциплиной «первым пришел - первым обслужен» (FIFO).
- W n + 1 = макс (0, W n + U n )
где
- T n - время между n- м и ( n +1) -м приходами,
- S n - время обслуживания n- го клиента, а
- U n = S n - T n
- W n - время ожидания n- го клиента.
Первому клиенту не нужно ждать, поэтому W 1 = 0. Последующим клиентам придется ждать, если они прибудут в то время, когда предыдущий клиент был обслужен.
Длина очереди [ править ]
Эволюцию процесса изменения длины очереди также можно записать в форме уравнения Линдли.
Интегральное уравнение [ править ]
Интегральное уравнение Линдли - это соотношение, которому удовлетворяет стационарное распределение времени ожидания F ( x ) в очереди G / G / 1 .
Где К ( х ) является функция распределения случайной величины , обозначая разницу между ( к - 1) прибытиями - го клиентом и временем между поступлениями между ( к - 1) -й и к - й клиентами. Для решения этого выражения можно использовать метод Винера – Хопфа . [5]
Заметки [ править ]
- ^ Асмуссен, Серен (2003). Прикладная вероятность и очереди . Springer. п. 23. DOI : 10.1007 / 0-387-21525-5_1 . ISBN 0-387-00211-1.
- ^ Кингмана, JFC (2009). «Первый век Эрланга - и следующий». Системы массового обслуживания . 63 : 3–4. DOI : 10.1007 / s11134-009-9147-4 .
- Перейти ↑ Kendall, DG (1951). «Некоторые вопросы теории очередей». Журнал Королевского статистического общества, Series B . 13 : 151–185. JSTOR 2984059 . Руководство по ремонту 0047944 .
- Перейти ↑ Lindley, DV (1952). «Теория очередей с единым сервером». Математические труды Кембриджского философского общества . 48 (2): 277–289. DOI : 10.1017 / S0305004100027638 . Руководство по ремонту 0046597 .
- Перейти ↑ Prabhu, NU (1974). "Методы Винера-Хопфа в теории массового обслуживания". Математические методы в теории массового обслуживания . Конспект лекций по экономике и математическим системам. 98 . С. 81–90. DOI : 10.1007 / 978-3-642-80838-8_5 . ISBN 978-3-540-06763-4.