Математика

Греческий математик Евклид (держит штангенциркуль ), 3 век до н.э., как его представил Рафаэль в этой детали из Афинской школы (1509–1511) ^[a]

Математика
0–9 А B C D E F грамм ЧАС я J K L M N О п Q р S Т U V W Икс Y Z
Математики
А B C D E F грамм ЧАС я J K L M N О п Q р S Т U V W Икс Y Z
Навигация
Списки Контур Портал Области
v т е

Математика (от греческого : μάθημα , máthēma , «знание, изучение, обучение») включает изучение таких тем, как количество ( теория чисел ), ^[1] структура ( алгебра ), ^[2] пространство ( геометрия ), ^[1] и изменение ( анализ ). ^{[3] [4] [5]} Не имеет общепринятого определения . ^{[6] [7]}

Математики ищут и используют шаблоны ^{[8] [9]} для формулирования новых предположений ; они решают истинность или ложность таковых с помощью математических доказательств . Когда математические структуры являются хорошими моделями реальных явлений, математические рассуждения можно использовать для получения понимания или предсказаний о природе. Благодаря использованию абстракции и логики , математики разработали из подсчета , вычисления , измерения и систематическое изучение форм и движений из физических объектов. Практическая математика была человеческой деятельностью с тех пор, как существуют письменные источники . Исследования необходимы для решения математических задач может занять годы или даже столетия устойчивого исследования.

Строгие аргументы впервые появились в греческой математике , особенно в « Началах » Евклида . ^[10] После новаторских работ Джузеппе Пеано (1858–1932), Дэвида Гильберта (1862–1943) и других по аксиоматическим системам в конце 19 века стало обычным рассматривать математические исследования как установление истины путем строгого вывода из правильно подобранные аксиомы и определения . Математика развивалась относительно медленными темпами до эпохи Возрождения , когда математические инновации взаимодействовали с новыминаучные открытия привели к быстрому увеличению темпов математических открытий, которые продолжаются и по сей день. ^[11]

Математика важна во многих областях, включая естественные науки , инженерию , медицину , финансы и социальные науки . Прикладная математика привела к появлению совершенно новых математических дисциплин, таких как статистика и теория игр . Математики занимаются чистой математикой (математикой ради нее самой), не имея в виду какого-либо приложения, но практические применения того, что начиналось как чистая математика, часто обнаруживаются позже. ^{[12] [13]}

История

Историю математики можно рассматривать как постоянно увеличивающийся ряд абстракций . Первой абстракцией, которую разделяют многие животные ^[14], вероятно, была абстракция чисел: осознание того, что набор из двух яблок и набор из двух апельсинов (например) имеют нечто общее, а именно количество их членов.

Как свидетельствуют подсчеты, найденные на костях, в дополнение к умению считать физические объекты, доисторические люди могли также понимать, как считать абстрактные величины, такие как время - дни, времена года или годы. ^{[15] [16]}

Доказательства более сложной математики появляются только примерно в 3000 г.  до н.э. , когда вавилоняне и египтяне начали использовать арифметику , алгебру и геометрию для налогообложения и других финансовых расчетов, строительства и строительства, а также для астрономии . ^[17] Самые старые математические тексты из Месопотамии и Египта относятся к периоду 2000–1800 гг. До н.э. ^[18] Во многих ранних текстах упоминаются тройки Пифагора и, следовательно, теорема Пифагора.кажется самым древним и широко распространенным математическим развитием после основ арифметики и геометрии. ^[19] Именно в вавилонской математике , что элементарная арифметика ( сложение , вычитание , умножение и деление ) сначала появляется в археологических данных. У вавилонян также была система счисления и шестидесятеричная система счисления ^[19], которая до сих пор используется для измерения углов и времени. ^[20]

Начиная с 6 - го до н.э. века с пифагорейцев , с греческой математики Древние греки начали систематическое изучение математики как предмета в своем собственном праве. ^[21] Около 300 г. до н.э. Евклид ввел аксиоматический метод, который до сих пор используется в математике, состоящий из определения, аксиомы, теоремы и доказательства. Его книга « Элементы» считается самым успешным и влиятельным учебником всех времен. ^[22] Величайшим математиком древности часто считают Архимеда (ок. 287–212 до н. Э.) Сиракуз . ^[23]Он разработал формулы для вычисления площади поверхности и объема вращающихся тел и использовал метод истощения для вычисления площади под дугой параболы с суммированием бесконечного ряда способом, не слишком отличающимся от современного исчисления. ^[24] Другими заметными достижениями греческой математики являются конические сечения ( Аполлоний Пергский , 3 век до н.э.), ^[25] тригонометрия ( Гиппарх Никейский , 2 век до нашей эры), ^[26] и начало алгебры ( Диофант , 3 век нашей эры). ). ^[27]

Индо-арабская система счисления и правила использования своих операций, используется во всем мире сегодня, эволюционировали в течение первого тысячелетия нашей эры в Индии и были переданы в западном мире по исламской математике . ^[28] Другие известные события индийской математики включают современное определение и приближение синус и косинус , ^[28] и раннюю форму бесконечного ряда .

Во время Золотого века ислама , особенно в IX и X веках, математика увидела много важных нововведений, основанных на греческой математике. Самым заметным достижением исламской математики было развитие алгебры . Другие достижения исламского периода включают достижения в сферической тригонометрии и добавление десятичной точки к арабской системе счисления. ^{[29] [30]} Многие известные математики того периода были персами, такие как Аль-Хоресми , Омар Хайям и Шараф ад-Дин аль-Хуси .

В период раннего Нового времени математика в Западной Европе начала развиваться ускоренными темпами . Развитие исчисления Ньютоном и Лейбницем в 17 веке произвело революцию в математике. ^[31] Леонард Эйлер был самым известным математиком 18 века, сделавшим множество теорем и открытий. ^[32] Возможно, прежде всего математик 19 века был немецкий математик Карл Фридрих Гаусс , ^[33] , который сделал большой вклад в таких областях, как алгебра , анализ , дифференциальной геометрии , теории матриц ,теория чисел и статистика . В начале 20 века Курт Гёдель преобразовал математику, опубликовав свои теоремы о неполноте , которые частично показывают, что любая непротиворечивая аксиоматическая система - если она достаточно мощная для описания арифметики - будет содержать истинные утверждения, которые нельзя доказать. ^[34]

С тех пор математика значительно расширилась, и между математикой и наукой произошло плодотворное взаимодействие, приносящее пользу обоим. Математические открытия продолжают делаться и сегодня. По словам Михаила Б. Севрюка в январском выпуске Бюллетеня Американского математического общества за 2006 г. , «количество статей и книг, включенных в базу данных Mathematical Reviews с 1940 г. (первый год работы MR), в настоящее время превышает 1,9. миллионов, и ежегодно в базу данных добавляется более 75 тысяч наименований. Подавляющее большинство работ в этом океане содержат новые математические теоремы и их доказательства ». ^[35]

Этимология

Слово математика происходит от древнегреческого máthēma ( μάθημα ), что означает «то, что познается » ^[36], «то, что человек узнает», отсюда также «изучение» и «наука». Слово «математика» стало иметь более узкое и техническое значение «математическое исследование» еще в классические времена. ^[37] Его прилагательное - mathēmatikós ( μαθηματικός ), что означает «связанный с обучением» или «прилежный», что в дальнейшем также стало означать «математический». В частности, mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ; латынь :ars mathematica) означало «математическое искусство».

Точно так же одна из двух основных школ пифагореизма была известна как mathēmatikoi (μαθηματικοί), что в то время означало «ученики», а не «математики» в современном смысле. ^[38]

На латыни и на английском языке примерно до 1700 года термин « математика» чаще означал « астрологию » (или иногда « астрономию »), а не «математику»; значение постепенно изменилось на нынешнее примерно с 1500 до 1800. Это привело к нескольким ошибкам в переводе. Например, предупреждение святого Августина о том, что христианам следует остерегаться математиков , то есть астрологов, иногда неправильно переводится как осуждение математиков. ^[39]

Видимая форма множественного числа в английском языке, такая как французская форма множественного числа les mathématiques (и реже используемая производная единственного числа la mathématique ) восходит к латинскому среднему множественному числу mathematica ( Cicero ), основанному на греческом множественном числе ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ), использовался Аристотелем (384–322 гг. до н.э.) и означал примерно «все математические», хотя вполне вероятно, что английский заимствовал только прилагательное « математика» (al) и заново сформировал существительное « математика» по образцу физики и метафизики., которые были унаследованы от греч. ^[40] В английском языке существительное математика принимает глагол единственного числа. Его часто сокращают до математики или, в Северной Америке, до математики . ^[41]

Определения математики

У математики нет общепринятого определения. ^{[6] [7]} Аристотель определил математику как «науку о количестве», и это определение преобладало до 18 века. Однако Аристотель также отметил, что сосредоточение внимания только на количестве может не отличить математику от таких наук, как физика; с его точки зрения, абстракция и изучение количества как свойства, «мысленно отделимого» от реальных примеров, отделяют математику от других. ^[42]

В XIX веке, когда изучение математики стало более строгим и стало затрагивать такие абстрактные темы, как теория групп и проективная геометрия , которые не имеют четкого отношения к количеству и измерению, математики и философы начали предлагать множество новых определений. . ^[43]

Многие профессиональные математики не интересуются определением математики или считают его неопределимым. ^[6] Нет даже единого мнения о том, является ли математика искусством или наукой. ^[7] Некоторые просто говорят: «Математика - это то, чем занимаются математики». ^[6]

Три ведущих типа

Три ведущих типа определения математики сегодня называются логиками , интуиционистами и формалистами , каждый из которых отражает различные философские школы мысли. ^{[44] У} всех есть серьезные недостатки, ни один из них не получил широкого признания, и никакое примирение не представляется возможным. ^[44]

Определения логиков

Раннее определение математики с точки зрения логики было дано Бенджамином Пирсом (1870 г.): «наука, которая делает необходимые выводы». ^[45] В Principia Mathematica , Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед выдвинули философскую программу , известную как логицизм , и пытались доказать , что все математические понятия, утверждение и принципы могут быть определены и доказаны исключительно в терминах символической логики . Логицистское определение математики - это Рассел (1903) «Вся математика есть символическая логика». ^[46]

Интуиционистские определения

Интуиционистские определения, развивающиеся на основе философии математика Л.Е. Брауэра , отождествляют математику с определенными ментальными явлениями. Пример интуиционистского определения: «Математика - это умственная деятельность, заключающаяся в выполнении построений один за другим». ^[44] Особенность интуиционизма состоит в том, что он отвергает некоторые математические идеи, которые считаются действительными согласно другим определениям. В частности, в то время как другие философии математики допускают объекты, существование которых можно доказать, даже если они не могут быть сконструированы, интуиционизм допускает только математические объекты, которые можно реально построить. Интуиционисты также отвергают закон исключенного среднего (т. Е.${\displaystyle P\vee \neg P}$). Хотя такая позиция действительно вынуждает их отвергать одну распространенную версию доказательства от противоречия как жизнеспособный метод доказательства, а именно вывод из , они все еще могут делать выводы из . Для них это строго более слабое утверждение, чем . ^[47]${\displaystyle P}$${\displaystyle \neg P\to \bot }$${\displaystyle \neg P}$${\displaystyle P\to \bot }$${\displaystyle \neg (\neg P)}$${\displaystyle P}$

Формалистские определения

Формалистские определения отождествляют математику с ее символами и правилами работы с ними. Хаскелл Карри определил математику просто как «науку о формальных системах». ^[48] формальная система представляет собой набор символов, или маркеров , а также некоторые правила о том , как маркеры должны быть объединены в формулах . В формальных системах слово « аксиома» имеет особое значение, отличное от обычного значения «самоочевидной истины», и используется для обозначения комбинации лексем, включенных в данную формальную систему, без необходимости выводить ее с помощью правила системы.

Математика как наука

Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс называл математику «королевой наук». ^[49] Совсем недавно Маркус дю Сотуа назвал математику «королевой науки ... главной движущей силой научных открытий». ^[50] философ Карл Поппер отметил , что «большинство математических теорий, как и физики и биологии , гипотетико - дедуктивный : Поэтому чистая математика оказывается гораздо ближе к естественным наукам , чьи гипотезы домыслы, чем это казалось еще недавно. " ^[51]Поппер также отметил, что «я обязательно признаю систему эмпирической или научной, только если она может быть проверена опытом». ^[52]

Некоторые авторы считают, что математика не является наукой, потому что она не полагается на эмпирические данные . ^{[53] [54] [55] [56]}

Математика имеет много общего со многими областями физических наук, особенно с исследованием логических следствий предположений. Интуиция и экспериментирование также играют роль в формулировании предположений как в математике, так и в (других) науках. Экспериментальная математика продолжает приобретать все большее значение в математике, а вычисления и моделирование играют все более важную роль как в естественных науках, так и в математике.

Мнения математиков по этому поводу разнятся. Многие математики ^[57] считают, что называть их область наукой - значит преуменьшать важность ее эстетической стороны и ее истории в традиционных семи гуманитарных науках ; другие считают, что игнорировать ее связь с науками - значит закрывать глаза на тот факт, что взаимодействие между математикой и ее приложениями в науке и технике привело к значительному развитию математики. ^[58] Один из способов проявления этой разницы во взглядах - философские дебаты о том, была ли математика создана (как в искусстве) или открыта.(как в науке). На практике математики обычно объединяются с учеными общего уровня, но разделяются на более тонких уровнях. Это один из многих вопросов, рассматриваемых в философии математики . ^[59]

Вдохновение, чистая и прикладная математика и эстетика

Математика возникает из множества различных задач. Сначала они были найдены в торговле, измерениях земли , архитектуре и позже в астрономии ; сегодня все науки предлагают проблемы, изучаемые математиками, и многие проблемы возникают внутри самой математики. Например, физик Ричард Фейнман изобрел путь интегральную формулировку из квантовой механики , используя комбинацию математических рассуждений и физического проникновения в суть, и сегодня теории струн , а еще развивающуюся научную теорию , которая пытается объединить четыре фундаментальные силы природы , продолжает вдохновлять новая математика. ^[60]

Некоторая математика актуальна только в той области, которая ее вдохновила, и применяется для решения дальнейших задач в этой области. Но часто математика, вдохновленная одной областью, оказывается полезной во многих областях и присоединяется к общему арсеналу математических понятий. Часто проводится различие между чистой математикой и прикладной математикой . Однако темы чистой математики часто имеют приложения, например теория чисел в криптографии .

Этот замечательный факт, что даже у самой «чистой» математики часто оказывается практическое применение, физик Юджин Вигнер назвал « необоснованной эффективностью математики ». ^[13] философ математики Марк Штайнер написал экстенсивно по этому вопросу и признает , что применимость математики является «вызовом для натурализма.» ^[61] Для философа математики Мэри Ленг тот факт, что физический мир действует в соответствии с требованиями непричинных математических сущностей, существующих за пределами вселенной, является «счастливым совпадением». ^[62] С другой стороны, для некоторых антиреалистов, связи, которые приобретаются между математическими вещами, просто отражают связи, приобретаемые между объектами во вселенной, так что не бывает «счастливого совпадения». ^[62]

Как и в большинстве областей обучения, бурный рост знаний в век науки привел к специализации: сейчас в математике есть сотни специализированных областей, а последняя классификация предметов по математике насчитывает 46 страниц. ^[63] Некоторые области прикладной математики слились со смежными традициями за пределами математики и стали самостоятельными дисциплинами, включая статистику, исследования операций и информатику .

Для тех, кто склонен к математике, большая часть математики часто имеет определенный эстетический аспект. Многие математики говорят об элегантности математики, присущей ей эстетике и внутренней красоте. Ценится простота и общность. Есть красота в простом и элегантном доказательстве , таком как доказательство Евклида , что существует бесконечно много простых чисел , и в элегантном численном методе , ускоряющем вычисления, таком как быстрое преобразование Фурье . Дж. Х. Харди в «Извинениях математика»выразил уверенность в том, что эти эстетические соображения сами по себе достаточны, чтобы оправдать изучение чистой математики. Он определил такие критерии, как значимость, неожиданность, неизбежность и экономичность, как факторы, способствующие математической эстетике. ^[64] Математические исследования часто ищут критические особенности математического объекта. Теорема, выраженная как характеристика объекта этими характеристиками, является призом. Примеры особенно сжатых и разоблачающих математических аргументов были опубликованы в Proofs from THE BOOK .

Популярность развлекательной математики - еще один признак удовольствия, которое многие находят при решении математических вопросов. Другая социальная крайность заключается в том, что философы продолжают находить проблемы в философии математики , такие как природа математических доказательств . ^[65]

Обозначения, язык и строгость

Большинство используемых сегодня математических обозначений не было изобретено до 16 века. ^[66] До этого математика была записана словами, что ограничивало математические открытия. ^[67] Эйлер (1707–1783) создал многие из используемых сегодня обозначений. Современные обозначения значительно упрощают математику для профессионалов, но новички часто находят ее сложной. По словам Барбары Окли , это можно объяснить тем фактом, что математические идеи более абстрактны и более зашифрованы, чем идеи естественного языка. ^[68] В отличие от естественного языка, где люди часто могут приравнивать слово (например, корова) с физическим объектом, которому он соответствует, математические символы абстрактны и не имеют какого-либо физического аналога. ^[69] Математические символы также более надежно зашифрованы, чем обычные слова, что означает, что один символ может кодировать ряд различных операций или идей. ^[70]

Математический язык может быть трудным для понимания для начинающих, потому что даже общие термины, такие как или и только , имеют более точное значение, чем в повседневной речи, а другие термины, такие как открытые и полевые, относятся к конкретным математическим идеям, не охватываемым их непрофессиональные значения. Математический язык также включает множество технических терминов, таких как гомеоморфизм и интегрируемость , которые не имеют значения вне математики. Кроме того, сокращенные фразы, такие как iff для выражения « если и только если », относятся к математическому жаргону.. Есть причина для использования специальных обозначений и технической лексики: математика требует большей точности, чем повседневная речь. Математики называют эту точность языка и логики «строгостью».

Математическое доказательство - это, по сути, вопрос строгости . Математики хотят, чтобы их теоремы вытекали из аксиом посредством систематических рассуждений. Это сделано для того, чтобы избежать ошибочных « теорем », основанных на ошибочной интуиции, многие случаи которых встречались в истории этого предмета. ^[b] Уровень строгости математики со временем менялся: греки ожидали подробных аргументов, но во времена Исаака Ньютонаиспользуемые методы были менее строгими. Проблемы, присущие определениям, используемым Ньютоном, приведут к возрождению тщательного анализа и формальных доказательств в 19 веке. Непонимание строгости является причиной некоторых распространенных заблуждений о математике. Сегодня математики продолжают спорить между собой о компьютерных доказательствах . Поскольку большие вычисления трудно проверить, такие доказательства могут быть ошибочными, если используемая компьютерная программа ошибочна. ^{[c] [71]} С другой стороны, помощники по доказательству позволяют проверить все детали, которые не могут быть указаны в рукописном доказательстве, и обеспечивают уверенность в правильности длинных доказательств, таких как доказательство теоремы Фейта – Томпсона . ^[d]

Аксиомы в традиционной мысли были «самоочевидными истинами», но такая концепция проблематична. ^[72] На формальном уровне аксиома - это просто строка символов, которая имеет внутреннее значение только в контексте всех выводимых формул аксиоматической системы . Целью программы Гильберта было поставить всю математику на прочную аксиоматическую основу, но согласно теореме Гёделя о неполноте каждая (достаточно мощная) аксиоматическая система имеет неразрешимые формулы; и поэтому окончательная аксиоматизация математики невозможна. Тем не менее математика часто представляется (с точки зрения ее формального содержания) не чем иным, как теорией множеств.в некоторой аксиоматизации, в том смысле, что каждое математическое утверждение или доказательство может быть преобразовано в формулы в рамках теории множеств. ^[73]

Области математики

В общих чертах математику можно подразделить на изучение количества, структуры, пространства и изменений (т.е. арифметику , алгебру , геометрию и анализ ). Помимо этих основных задач, существуют также подразделения, посвященные изучению связей из сердца математики с другими областями: с логикой , с теорией множеств ( основы ), с эмпирической математикой различных наук ( прикладная математика ) и с недавних пор. к тщательному изучению неопределенности . Хотя некоторые области могут показаться не связанными друг с другом, программа Ленглендсаобнаружил связи между областями, ранее считавшимися несвязанными, такими как группы Галуа , римановы поверхности и теория чисел .

Дискретная математика традиционно объединяет области математики, изучающие математические структуры, которые в основном дискретны, а не непрерывны.

Основы и философия

Чтобы прояснить основы математики , были развиты области математической логики и теории множеств . Математическая логика включает математическое изучение логики и приложения формальной логики к другим областям математики; Теория множеств - это раздел математики, изучающий множества или совокупности объектов. Фраза «кризис основ» описывает поиск прочного основания математики, который велся примерно с 1900 по 1930 год. ^[74] Некоторые разногласия по поводу основ математики сохраняются и по сей день. Кризис фондов был вызван рядом споров того времени, в том числеполемика по теории множеств Кантора и полемика Брауэра-Гильберта .

Математическая логика занимается установлением математики в строгой аксиоматической структуре и изучением последствий такой структуры. Таким образом, он является домом для теорем Гёделя о неполноте, которые (неформально) подразумевают, что любая эффективная формальная система , содержащая базовую арифметику, если она надежна (что означает, что все теоремы, которые могут быть доказаны, верны), обязательно является неполной (что означает наличие истинных теорем что не может быть доказано в этой системе). Какой бы конечный набор теоретико-числовых аксиом ни был взят за основу, Гёдель показал, как построить формальное утверждение, которое является истинным теоретико-числовым фактом, но которое не следует из этих аксиом. Следовательно, никакая формальная система не является полной аксиоматизацией полной теории чисел. Современная логика делится на теорию рекурсии , теории моделей и теорию доказательств , и тесно связана с теоретической информатикой , ^[75] , а также к теории категорий . В контексте теории рекурсии невозможность полной аксиоматизации теории чисел также может быть формально продемонстрирована как следствие теоремы MRDP .

Теоретическая информатика включает в себя теорию вычислимости , теорию сложности вычислений и теорию информации . Теория вычислимости исследует ограничения различных теоретических моделей компьютера, включая наиболее известную модель - машину Тьюринга . Теория сложности - это изучение управляемости компьютером; некоторые проблемы, хотя теоретически и решаемые с помощью компьютера, являются настолько дорогостоящими с точки зрения времени или пространства, что их решение, вероятно, останется практически невыполнимым даже с быстрым развитием компьютерного оборудования. Известной проблемой является проблема « P = NP ? », Одна из задач, присуждаемых Премией тысячелетия .^[76] Наконец, теория информации касается количества данных, которые могут быть сохранены на данном носителе, и, следовательно, имеет дело с такими понятиями, как сжатие и энтропия .

${\displaystyle p\Rightarrow q}$
Математическая логика	Теория множеств	Теория категорий	Теория вычислений

Чистая математика

Системы счисления и теория чисел

Изучение количества начинается с чисел, сначала знакомых натуральных и целых чисел («целых чисел») и арифметических операций над ними, которые характеризуются арифметикой . Более глубокие свойства целых чисел изучаются в теории чисел , откуда приходят такие популярные результаты, как Великая теорема Ферма . Гипотеза о простых числах- близнецах и гипотеза Гольдбаха - две нерешенные проблемы теории чисел.${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Поскольку система числа дальнейшего развития, целые числа признаны в качестве подмножества из рациональных чисел ( « дробь »). Они, в свою очередь, содержатся в вещественных числах , которые используются для представления пределов последовательностей рациональных чисел и непрерывных величин. Действительные числа обобщаются на комплексные числа . Согласно основной теореме алгебры , все полиномиальные уравнения с одним неизвестным с комплексными коэффициентами имеют решение в комплексных числах, независимо от степени полинома. и являются первыми ступенями иерархии чисел, которая включает${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {N} ,\ \mathbb {Z} ,\ \mathbb {Q} ,\ \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$кватернионы и октонионы . Рассмотрение натуральных чисел также приводит к трансфинитным числам , которые формализуют понятие « бесконечность ». Еще одна область изучения - это размер наборов, который описывается количественными числами . К ним относятся числа алеф , которые позволяют значимо сравнивать размер бесконечно больших множеств.

${\displaystyle (0),1,2,3,\ldots }$	${\displaystyle \ldots ,-2,-1,0,1,2\,\ldots }$	${\displaystyle -2,{\frac {2}{3}},1.21}$	${\displaystyle -e,{\sqrt {2}},3,\pi }$	${\displaystyle 2,i,-2+3i,2e^{i{\frac {4\pi }{3}}}}$	${\displaystyle \aleph _{0},\aleph _{1},\aleph _{2},\ldots ,\aleph _{\alpha },\ldots .\ }$
Натуральные числа	Целые числа	Рациональное число	Вещественные числа	Комплексные числа	Бесконечные кардиналы

Состав

Многие математические объекты, такие как наборы чисел и функций , демонстрируют внутреннюю структуру как следствие операций или отношений , определенных в наборе. Затем математика изучает свойства этих множеств, которые могут быть выражены в терминах этой структуры; например, теория чисел изучает свойства множества целых чисел, которые могут быть выражены в терминах арифметических операций. Кроме того, часто бывает , что различные такие структурированные наборы (или структура ) обладают сходными свойствами, что делает возможным, с помощью дополнительной стадии абстракции , в государственные аксиомыдля класса структур, а затем сразу изучить весь класс структур, удовлетворяющих этим аксиомам. Таким образом можно изучать группы , кольца , поля и другие абстрактные системы; вместе такие исследования (для структур, определяемых алгебраическими операциями) составляют область абстрактной алгебры .

Благодаря своей большой общности абстрактная алгебра часто может применяться к, казалось бы, не связанным между собой проблемам; например, ряд древних проблем, касающихся построения циркуля и линейки, были наконец решены с помощью теории Галуа , которая включает теорию поля и теорию групп. Другим примером алгебраической теории является линейная алгебра , которая представляет собой общее изучение векторных пространств , элементы которых, называемые векторами, имеют как количество, так и направление, и могут использоваться для моделирования (отношений между) точками в пространстве. Это один из примеров феномена того, что изначально не связанные между собой области геометрии и алгебры очень сильно взаимодействуют в современной математике.Комбинаторика изучает способы перечисления количества объектов, соответствующих данной структуре.

${\displaystyle {\begin{matrix}(1,2,3)&(1,3,2)\\(2,1,3)&(2,3,1)\\(3,1,2)&(3,2,1)\end{matrix}}}$
Комбинаторика	Теория чисел	Теория групп	Теория графов	Теория порядка	Алгебра

Космос

Изучение пространства берет свое начало с геометрии - в частности, евклидовой геометрии , которая сочетает в себе пространство и числа и включает в себя хорошо известную теорему Пифагора . Тригонометрия - это раздел математики, который занимается отношениями между сторонами и углами треугольников, а также тригонометрическими функциями. Современные исследования пространства обобщают эти идеи, включая геометрию более высоких измерений, неевклидову геометрию (которая играет центральную роль в общей теории относительности ) и топологию . Количество и пространство играют роль в аналитической геометрии , дифференциальной геометрии иалгебраическая геометрия . Выпуклая и дискретная геометрия были разработаны для решения задач теории чисел и функционального анализа, но сейчас они разрабатываются с прицелом на приложения в оптимизации и информатике . В рамках дифференциальной геометрии используются понятия расслоений и исчисления на многообразиях , в частности, векторное и тензорное исчисление . В рамках алгебраической геометрии есть описание геометрических объектов как наборов решений полиномиальных уравнений, объединяющих понятия количества и пространства, а также изучениетопологические группы , сочетающие структуру и пространство. Группы Ли используются для изучения пространства, структуры и изменений. Топология во всех ее многочисленных ответвлениях, возможно, была самой большой областью развития математики 20-го века; она включает точечную топологию , теоретико-множественную топологию , алгебраическую топологию и дифференциальную топологию . В частности, примеры современной топологии являются теория метризуемости , аксиома теории множеств , теория гомотопий , и теория Морса . Топология также включает теперь решенную гипотезу Пуанкаре, и все еще нерешенные области гипотезы Ходжа . Другие результаты в геометрии и топологии, включая теорему о четырех цветах и гипотезу Кеплера , были доказаны только с помощью компьютеров.

Геометрия	Тригонометрия	Дифференциальная геометрия	Топология	Фрактальная геометрия	Теория меры

Изменять

Понимание и описание изменений - обычная тема в естествознании , и исчисление было разработано как инструмент для ее исследования. Функции возникают здесь как центральное понятие, описывающее изменяющуюся величину. Строгое изучение действительных чисел и функций действительной переменной известно как реальный анализ , а комплексный анализ - эквивалентное поле для комплексных чисел . Функциональный анализ фокусирует внимание на (обычно бесконечномерных) пространствах функций. Одно из многих приложений функционального анализа - квантовая механика.. Многие проблемы естественным образом приводят к взаимосвязям между величиной и скоростью ее изменения, и они изучаются как дифференциальные уравнения . Многие явления в природе можно описать динамическими системами ; Теория хаоса уточняет способы, которыми многие из этих систем демонстрируют непредсказуемое, но все же детерминированное поведение.

Прикладная математика

Прикладная математика занимается математическими методами, которые обычно используются в науке , технике , бизнесе и промышленности . Таким образом, «прикладная математика» - это математическая наука со специализированными знаниями . Термин « прикладная математика» также описывает профессиональную специальность, в которой математики работают над практическими задачами; Как профессия, ориентированная на практические проблемы, прикладная математика фокусируется на «формулировании, изучении и использовании математических моделей» в науке, технике и других областях математической практики.

В прошлом практическое применение мотивировало развитие математических теорий, которые затем стали предметом изучения чистой математики, где математика разрабатывалась в первую очередь ради нее самой. Таким образом, деятельность прикладной математики неразрывно связана с исследованиями в области чистой математики .

Статистика и другие науки о принятии решений

Прикладная математика во многом пересекается с дисциплиной статистики, теория которой формулируется математически, особенно с теорией вероятностей . Статистики (работающие в рамках исследовательского проекта) «создают разумные данные» с помощью случайной выборки и рандомизированных экспериментов ; ^[77] план статистической выборки или эксперимента определяет анализ данных (до того, как данные станут доступны). При пересмотре данных экспериментов и выборок или при анализе данных наблюдательных исследований статистики «разбираются в данных», используя искусство моделирования и теорию вывода - с выбором модели.и оценка ; предполагаемые модели и последующие прогнозы должны быть проверены на новых данных . ^[e]

Статистическая теория изучает проблемы принятия решений, такие как минимизация риска ( ожидаемых потерь ) статистического действия, например, использование процедуры в оценке параметров , проверке гипотез и выборе лучшего . В этих традиционных областях математической статистики проблема статистического решения формулируется путем минимизации целевой функции , такой как ожидаемые убытки или затраты , при определенных ограничениях: например, планирование обследования часто включает в себя минимизацию затрат на оценку среднего для совокупности с заданным значением. уровень уверенности. ^[78]Из-за использования оптимизации математическая теория статистики разделяет проблемы с другими науками о принятии решений , такими как исследование операций , теория управления и математическая экономика . ^[79]

Вычислительная математика

Вычислительная математика предлагает и изучает методы решения математических задач , которые обычно слишком велики для числовых возможностей человека. Численный анализ методы исследования для задач в области анализа с использованием функционального анализа и теории приближений ; Численный анализ включает изучение аппроксимации и дискретизации в целом с особым вниманием к ошибкам округления . Численный анализ и, в более широком смысле, научные вычисления также изучают неаналитические темы математической науки, особенно алгоритмическую матрицу и теорию графов.. Другие области вычислительной математики включают компьютерную алгебру и символьные вычисления .

Математические награды

Пожалуй, самая престижная награда в области математики является Fields Medal , ^{[80] [81]} основана в 1936 году и присуждаются каждый четыре года ( за исключением вокруг Второй мировой войны) до целых четырех людей. Медаль Филдса часто считают математическим эквивалентом Нобелевской премии.

Премия Вольфа по математике , учрежденная в 1978 году, присуждается за достижения на протяжении всей жизни, а еще одна крупная международная награда, Премия Абеля , была учреждена в 2003 году. Медаль Черна была учреждена в 2010 году для признания заслуг на протяжении всей жизни. Эти награды присуждаются в знак признания определенной работы, которая может быть инновационной или предлагать решение нерешенной проблемы в установленной области.

Знаменитый список из 23 открытых проблем , названный « проблемами Гильберта », был составлен в 1900 году немецким математиком Давидом Гильбертом . Этот список получил широкую известность среди математиков, и по крайней мере девять из задач уже решены. В 2000 г. был опубликован новый список из семи важных проблем, озаглавленный « Проблемы, связанные с Премией тысячелетия ». Только одна из них, гипотеза Римана , дублирует одну из проблем Гильберта. Решение любой из этих проблем приносит вознаграждение в 1 миллион долларов. В настоящее время решена только одна из этих проблем - гипотеза Пуанкаре .

Смотрите также

Заметки

Рекомендации

Библиография

дальнейшее чтение