Математика букмекерской конторы

Эта статья в значительной степени или полностью основана на одном источнике . Соответствующее обсуждение можно найти на странице обсуждения . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на дополнительные источники . Источники:  «Математика букмекерства»  -  новости  · газеты  · книги  · научный сотрудник  · JSTOR ( февраль 2012 г. )

В азартных играх жаргона, что делает книгу практик укладки ставки на различных возможных исходах одного события. Термин происходит от практики записи таких ставок в бухгалтерскую книгу с твердым переплетом («книгу») и дает в английском языке термин букмекерская контора для лица, делающего ставки и, таким образом, «составляющего книгу». ^{[1] [2]}

Создание «книги» (и понятие «оверраунд») [ править ]

Букмекерская контора стремится принимать ставки на исход события в правильных пропорциях, чтобы получать прибыль независимо от того, какой исход преобладает. См. Голландскую книгу и последовательность (философская стратегия азартных игр) . Это достигается в первую очередь за счет корректировки того, что определено как истинные шансы различных исходов события, в сторону понижения (то есть букмекерская контора будет выплачивать, используя свои фактические шансы, сумму, которая меньше, чем были бы выплачены истинные шансы, таким образом обеспечивая прибыль). ^[3]

Коэффициенты, указанные для конкретного события, могут быть фиксированными, но более вероятно, что они будут колебаться, чтобы учесть размер ставок, сделанных участниками пари в преддверии фактического события (например, скачки). В этой статье объясняется математика создания книги в (более простом) случае первого события. Для второго метода см. Ставки на Parimutuel .

Важно понимать взаимосвязь между дробными и десятичными коэффициентами. Дробные шансы записаны ab (от a / b или от a до b) и означают, что выигравший игрок получит свои деньги обратно плюс единицы за каждые b единиц, которые он поставил. Умножение a и b на одно и то же число дает коэффициент, эквивалентный ab. Десятичные коэффициенты - это одно значение больше 1, представляющее сумму, подлежащую выплате за каждую единичную ставку. Например, по ставке 40 фунтов стерлингов при 6-4 (дробные коэффициенты) будет выплачено 40 фунтов стерлингов + 60 фунтов стерлингов = 100 фунтов стерлингов. Эквивалентный десятичный коэффициент равен 2,5; 40 фунтов стерлингов x 2,5 = 100 фунтов стерлингов. Мы можем преобразовать дробный коэффициент в десятичном по формуле D = ^{Ь + а} / _б . Следовательно, дробные шансы a-1 (т. Е. B = 1) могут быть получены из десятичных коэффициентов как a = D-1.

Важно также , чтобы понять взаимосвязь между коэффициентами и подразумеваемые вероятностей: дробными шансы AB (с соответствующими десятичные коэффициенты D) представляют собой предполагаемую вероятность ^б / A _{+ B} = ¹ / _D , например , 6-4 соответствует в ⁴ / 6 _{+ 4} = ⁴ / ₁₀ = 0,4 (40%). Подразумеваемая вероятность x представлена ​​дробным коэффициентом (1-x) / x, например, 0,2 равно (1-0,2) / 0,2 = 0,8 / 0,2 = 4/1 (4-1, 4 к 1) (эквивалентно, ¹ / _х - от 1 до 1), и десятичных шансов D = ¹ / _х .

Пример [ править ]

При рассмотрении футбольного матча (события), который может быть либо `` победой дома '', `` ничьей '' или `` победой на выезде '' (исходы), тогда могут возникнуть следующие коэффициенты, отражающие истинный шанс каждого из трех исходов:

Главная: Эвены

Ничья - 2: 1

Гости: 5-1

Эти шансы могут быть представлены как предполагаемые вероятности (или проценты, умноженные на 100) следующим образом:

Эвены (или 1-1) соответствует предполагаемой вероятности ¹ / ₂ (50%)

2-1 соответствует подразумеваемой вероятности ¹ / ₃ (33 ¹ / ₃ %)

5-1 соответствует предполагаемой вероятности ¹ / ₆ (16 ² / ₃ %)

Путем сложения процентов получается общая «книга», равная 100% (что представляет собой честную книгу). Букмекерская контора, желая получить прибыль, неизменно снижает эти коэффициенты. Рассмотрим простейшую модель уменьшения, в которой используется пропорциональное уменьшение шансов. В приведенном выше примере следующие шансы находятся в той же пропорции по отношению к их предполагаемой вероятности (3: 2: 1):

Дом: 4-6

Ничья: 6-4

Гости: 4-1

4-6 соответствует подразумеваемой вероятности ³ / ₅ (60%)

6-4 соответствует подразумеваемой вероятности ² / ₅ (40%)

4-1 соответствует подразумеваемой вероятности ¹ / ₅ (20%)

Сложив эти проценты вместе, мы получим «книгу» в 120%.

Сумма, на которую фактическая «книжка» превышает 100%, известна как «оверраунд», ^{[4] [5]} «букмекерская маржа» ^[3] или « энергичный » или «виг»: ^[3] она представляет букмекерскую контору. ожидаемая прибыль. ^[3] Таким образом, в «идеальной» ситуации, если букмекерская контора принимает ставки в размере 120 фунтов стерлингов с его собственными указанными коэффициентами в правильной пропорции, он выплатит только 100 фунтов стерлингов (включая возвращенные ставки) независимо от фактического результата футбольный матч. Исследуем, как он потенциально этого достигает:

Ставка в размере 60 фунтов стерлингов при 4–6 игроков вернет 100 фунтов стерлингов (ровно) за домашнюю победу.

Ставка 40,00 фунтов стерлингов при 6-4 возвращает 100,00 фунтов стерлингов (ровно) за ничью.

Ставка в размере 20 фунтов стерлингов при 4-1 возвращает 100 фунтов стерлингов (ровно) за победу на выезде.

Общая сумма полученных ставок - 120,00 фунтов стерлингов и максимальная выплата 100,00 фунтов стерлингов независимо от результата. Это £ 20,00 прибыль представляет собой 16 ² / ₃  % прибыли от оборота (20.00 / 120.00).

На самом деле букмекеры используют более сложные модели снижения, чем модель «идеальной» ситуации.

Букмекерская маржа в английских футбольных лигах [ править ]

Букмекерская маржа в английских футбольных лигах в последние годы снизилась. ^[6] Исследование шести крупных букмекеров между 2005/06 сезона и 2017/2018 сезон показал , что средняя маржа в Премьер - Лиге снизилась с 9% до 4%, в английском чемпионате Футбольной лиги , английской футбольной лиги One и английской футбольной лиги Два с 11% до 6%, а в Национальной лиге с 11% до 8%.

Оверраунд по множественным ставкам [ править ]

Когда игрок ( игрок ) комбинирует более одного выбора, например, в двойном , тройном или аккумуляторе, тогда эффект оверраунд в книге каждого выбора усугубляется в ущерб игроку с точки зрения финансовой отдачи по сравнению с что истинные шансы на всех выборах выигрыш и , таким образом , в результате успешной ставки.

Чтобы объяснить концепцию в самых простых ситуациях, мы рассмотрим пример, состоящий из дубля, состоящего из выбора победителя в каждом из двух теннисных матчей:

В матче 1 между игроками A и B оба игрока имеют равные шансы на победу. Ситуация такая же , в матче 2 между игроками C и D . При честной книге в каждом из своих матчей, т. Е. У каждого есть книга со 100%, всем игрокам будет предлагаться с коэффициентом эвенов (1-1). Однако букмекерская контора, вероятно, предложит шансы 5-6 (например) на каждый из двух возможных исходов каждого события (каждого теннисного матча). Это приводит к книге для каждого из теннисных матчей 109.09 ...%, в расчете на 100 × ( ⁺⁶ / ₁₁ + ⁺⁶ / ₁₁ ) , т.е. 9,09% overround.

Есть четыре возможных результата объединения результатов обоих матчей: выигравшая пара игроков может быть AC , AD , BC или BD . Поскольку каждый из результатов для этого примера был выбран сознательно , чтобы гарантировать , что они в равной степени вероятно , можно сделать вывод о том , что вероятность каждого исхода , происходящего в ¹ / ₄ или 0,25 , и что дробные шансы против каждого из них происходит 3-1 . Ставка в 100 единиц (для простоты) на любую из четырех комбинаций принесет в случае успеха 100 × (3/1 + 1) = 400 единиц, что отражает десятичный коэффициент 4,0.

Десятичные коэффициенты множественной ставки часто рассчитываются путем умножения десятичных коэффициентов отдельных ставок, при этом идея состоит в том, что если события независимы, то предполагаемая вероятность должна быть произведением предполагаемых вероятностей отдельных ставок. В приведенном выше случае с дробным коэффициентом 5-6, десятичные шансы ¹¹ / ₆ . Так десятичных шансы двойной ставки является ¹¹ / ₆ × ¹¹ / ₆= 1,833 ... × 1,833 ... = 3,3611 ... или дробный коэффициент 2,3611-1. Это представляет собой предполагаемую вероятность 29,752% (1 / 3,3611), а умножение на 4 (для каждой из четырех равновероятных комбинаций результатов) дает общую книгу 119,01%. Таким образом, оверраунд увеличился чуть более чем вдвое за счет объединения двух одиночных ставок в двойную.

В общем, комбинированный оверунд на дубле (O _D ), выраженный в процентах, рассчитывается из отдельных книг B ₁ и B ₂ , выраженных в десятичной дроби, как O _D = B ₁ × B ₂ × 100 - 100. В в примере мы имеем O _D = 1.0909 × 1.0909 × 100 - 100 = 19.01%.

Это значительное увеличение потенциальной прибыли для букмекера (19% вместо 9% по событию; в данном случае двойное) является основной причиной, по которой букмекеры выплачивают бонусы за успешный выбор победителей в множественных ставках: сравните предложение с бонусом в 25% о правильном выборе четырех победителей из четырех выбранных в Янки , например, когда потенциальный оверраунд в простой четырехкратной гонке с индивидуальными книгами 120% превышает 107% (книга 207%). Вот почему букмекеры предлагают такие ставки, как Lucky 15 , Lucky 31 и Lucky 63 ; предлагая удвоение шансов на одного победителя и увеличение процентных бонусов для двух, трех и более победителей.

В общем, для любой ставки на экспресс от двух до i выборок, комбинированный процент оверсайта книг B ₁ , B ₂ , ..., B _i, заданный в десятичных дробях, рассчитывается как B ₁ × B ₂ × ... × B _i × 100 - 100. Например, ранее упомянутая четырехкратная структура, состоящая из отдельных книг на 120% (1,20), дает перекрытие 1,20 × 1,20 × 1,20 × 1,20 × 100 - 100 = 107,36%.

Расчет выигрышных ставок [ править ]

При урегулировании выигрышных ставок используются либо десятичные коэффициенты, либо к дробным коэффициентам добавляется единица: это означает, что ставка включается в возврат. Место часть каждого-полосной ставка рассчитываются отдельно от выигрыша части; метод идентичен, но шансы уменьшаются независимо от фактора места для конкретного события ( подробный пример см. ниже в Аккумуляторе ). Все ставки считаются выигрышными, если иное не указано отдельно. Все показывают использование дробных коэффициентов: замените (дробные коэффициенты + 1) десятичными коэффициентами, если десятичные коэффициенты известны. Не участвующие в соревнованиях считаются победителями с дробным коэффициентом ноль (десятичный коэффициент 1). Доли пенсов в общем выигрыше всегда округляются в меньшую сторону.букмекерами до ближайшей копейки ниже. Приведенные ниже расчеты для ставок на множественные ставки приводят к тому, что итоги отображаются для отдельных категорий (например, двойные, тройные и т. Д.), И поэтому общая прибыль может не быть в точности такой же, как сумма, полученная от использования компьютерного программного обеспечения, доступного букмекерам для расчета общей суммы. выигрыши. ^{[7] [8]}

Одиночные игры [ править ]

Выиграть сингл

Например, 100 фунтов стерлингов в одиночку при 9-2; общая ставка = 100 £

Возврат = 100 £ × (9/2 + 1) = 100 £ × 5,5 = 550 £

В обе стороны сингл

Например £ 100 каждый-ходовой сингл на 11-4 ( ¹ / ₅ шансов место , ); общая ставка = 200 £

Возврат (выигрыш) = 100 £ × (11/4 + 1) = 100 £ × 3,75 = 375 £

Возврат (место) = 100 £ × (11/20 + 1) = 100 £ × 1,55 = 155 £

Общий доход в случае победы выбора = 530 фунтов стерлингов; если только размещено = 155 £

Множественные ставки [ править ]

Многосторонние ставки на каждую сторону обычно рассчитываются с использованием метода по умолчанию « Win to Win, Place to Place », что означает, что ставка состоит из аккумулятора выигрыша и отдельного аккумулятора места (Примечание: двойные или тройные - это аккумуляторы с 2 или 3 выбор соответственно). Тем не менее, более необычным способом урегулирования таких ставок является « Каждую сторону, все стороны » (известную как « Равномерно разделенные », которая обычно должна быть запрошена как таковая в буклете), при котором доход от одного выбора в аккумуляторы разделяются, чтобы сформировать равную ставку в обоих направлениях на следующий выбор и так далее, пока все исходы не будут использованы. ^{[9] [10]} В первом примере ниже показаны два разных подхода к расчету по этим типам ставок.

Двойной ^{[11] [12]}

Например £ 100 каждый сторону дважды с победителями в 2-1 ( ¹ / ₅ шансов место , ) и 5-4 ( ¹ / ₄ шансов место , ); общая ставка = 200 £

Примечание: « Победа к победе, место на место » всегда будет приносить больший доход, если выигрывают все варианты, тогда как « Каждый вариант, все варианты» обеспечивает большую компенсацию, если один вариант проигравший, поскольку каждый из других победителей обеспечивает большую количество размещаемых денег для последующих выборов.

Высокие частоты ^{[11] [12]}

Например, тройной бонус в размере 100 фунтов стерлингов с победителями со счетами 3-1, 4-6 и 11-4; общая ставка = 100 £

Возврат = 100 фунтов стерлингов × (3/1 + 1) × (4/6 + 1) × (11/4 + 1) = 2500 фунтов стерлингов.

Аккумулятор ^{[11] [12]}

Например £ 100 каждых-путь в пять разы аккумулятор с победителями в эвенах ( ¹ / ₄ шансов место , ), 11-8 ( ¹ / ₅ шансов), 5-4 ( ¹ / ₄ коэффициентов), 1-2 (все вверх чтобы выиграть) и 3-1 ( ¹ / ₅ шансов); общая ставка = 200 £

Примечание: «Все до победы» означает, что в соревновании недостаточно участников для определения шансов на место (например, 4 или меньше бегунов в скачках). Таким образом, единственное «место» - это первое место, для которого даны шансы на победу.

Возврат (пятикратный выигрыш) = 100 £ × (1/1 + 1) × (11/8 + 1) × (5/4 + 1) × (1/2 + 1) × (3/1 + 1) = £ 6412,50

Возврат (разложить в пять раз) = 100 £ × (1/4 + 1) × (11/40 + 1) × (5/16 + 1) × (1/2 + 1) × (3/5 + 1) = £ 502,03

Общая прибыль = 6914,53 £.

Ставки на полное покрытие [ править ]

Трикси

янки

Трикси , Янки , Канадец , Хайнц , Супер Хайнц и Голиаф составляют семейство ставок, известных как ставки полного покрытия, в которых присутствуют все возможные кратные. Примеры выигрышных ставок на Трикси и Янки были показаны выше. Другие названные ставки рассчитываются аналогичным образом с учетом всех возможных комбинаций исходов в их кратных. Примечание. Двойную ставку можно рассматривать как полную ставку с двумя вариантами выбора.

Если выбор одной из этих ставок не выиграл, оставшиеся победители считаются полностью успешной ставкой на следующего «члена семьи». Например, только два победителя из трех в Трикси означают, что ставка рассчитана как двойная; только четыре победителя из пяти в Канаде означает, что он рассчитан как Янки ; только пять победителей из восьми в Голиафе означает, что он заселен как канадец . Часть ставок на место в каждой ставке рассчитывается отдельно с использованием пониженных коэффициентов на место. Таким образом, каждый из -полосная Супер Heinz на семь лошадей трех победителей и еще двух размещенных лошадей урегулирована в победу Трикси и местоКанадский . Практически все букмекерские конторы используют компьютерное программное обеспечение для простоты, скорости и точности расчетов при расчетах по экспресс-ставкам.

Ставки на полное покрытие для одиночных игр [ править ]

Патент

Patent , Lucky 15 , Lucky 31 , Lucky 63 и более поздние ставки Lucky составляют семейство ставок, известных как ставки полного покрытия с одиночными играми, в которых присутствуют все возможные кратные вместе с одиночными ставками на все исходы. Примеры выигрышной ставки на патент показаны выше. Остальные названные ставки рассчитываются аналогичным образом с учетом всех возможных комбинаций исходов в их кратных и одиночных играх.

Если выбор одной из этих ставок не выиграл, оставшиеся победители считаются полностью успешной ставкой на следующего «члена семьи». Например, наличие только двух победителей из трех в патенте означает, что ставка рассчитана как двойная и две одиночных; только три победителя из четырех в Lucky 15 означают, что он засчитан как патент ; только четыре победителя из шести в Lucky 63 означает, что он рассчитан как Lucky 15 . Часть ставок на место в каждой ставке рассчитывается отдельно с использованием пониженных коэффициентов на место. Таким образом, победитель Lucky 63 на шести лошадях с тремя победителями и двумя последующими лошадьми засчитывается как Патент на победу и место.Счастливчик 31 .

Алгебраическая интерпретация [ править ]

Возврат по любой ставке можно считать рассчитанным как «единица ставки» × «множитель шансов». В целом "шансами мультипликатора является комбинированным значением десятичных коэффициентов и являются результатом всех отдельных ставок , которые составляют полную ставку, в том числе обложки синглов , если это необходимо. Например, если успешный янки за 10 фунтов вернул 461,35 фунтов стерлингов, то общий «множитель шансов» ( ОМ ) составит 46,135.

Если a , b , c , d ... представляют собой десятичные шансы , то есть (дробные шансы + 1), то OM можно вычислить алгебраически, умножив выражения ( a + 1), ( b + 1), ( c + 1) ... и т. Д. Вместе требуемым образом и вычитая 1. При необходимости (десятичный коэффициент + 1) можно заменить на (дробный коэффициент + 2). ^{[13] [14]}

Примеры [ править ]

3 выбора с десятичными коэффициентами a , b и c . Расширение ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) алгебраически дает abc + ab + ac + bc + a + b + c + 1. Это эквивалентно OM для патента (тройной: abc ; удваивается: ab , ac и bc ; одиночные: a , b и c ) плюс 1. Следовательно, чтобы рассчитать доходность выигравшего патента, достаточно умножить ( a + 1), ( b + 1) и ( c + 1) вместе и вычесть 1, чтобы получить ОМ для выигрышной ставки, т. Е. OM = ( а + 1) ( б + 1) ( в + 1) - 1 . Теперь умножьте на единицу ставки, чтобы получить общий доход от ставки. ^{[15] [16]}

Например, описанный ранее патент-победитель можно быстрее и проще оценить следующим образом:

Общая прибыль = 2 фунта стерлингов × [(4/6 + 2) × (2/1 + 2) × (11/4 + 2) - 1] = 99,33 фунта стерлингов.

Игнорирование любых бонусов, 50 пенсов каждая сторону Лаки 63 (общая сумма ставки £ 63) с 4 - победителей [2-1, 5-2, 7-2 (все ¹ / ₅ шансов место , ) и 6-4 ( ¹ / ₄ шансов место)] , а также дополнительно помещен лошадь [9-2 ( ¹ / ₅ шансов место , )] может быть относительно легко вычисляется следующим образом :

Доходность (выигрышная часть) = 0,50 × [(2/1 + 2) × (5/2 + 2) × (7/2 + 2) × (6/4 + 2) - 1] = 172,75 фунтов стерлингов.

или проще как 0,50 × (4 × 4,5 × 5,5 × 3,5 - 1)

Возврат (указанная часть) = 0,50 × [(2/5 + 2) × (5/10 + 2) × (7/10 + 2) × (6/16 + 2) × (9/10 + 2) - 1). ] = 11,79 фунтов стерлингов

или проще как 0,50 × (2,4 × 2,5 × 2,7 × 2,375 × 2,9 - 1)

Общая прибыль = 184,54 фунта стерлингов.

Для семейства ставок с полным покрытием, которое не включает одиночные ставки, производится корректировка расчета, чтобы оставить только двойные, тройные и аккумуляторы. Таким образом, ранее описанный выигрыш Янки в размере 10 фунтов стерлингов с победителями 1-3, 5-2, 6-4 и Эвенсом рассчитывается следующим образом:

£ 10 × [(1/3 + 2) × (5/2 + 2) × (6/4 + 2) × (1/1 + 2) - 1 - [(1/3 + 1) + (5 / 2 + 1) + (6/4 + 1) + (1/1 + 1)]] = 999,16 фунтов стерлингов

Фактически, ставка была рассчитана как «15 удачных» минус одиночные игры. Обратите внимание, что общая сумма возврата в размере 999,16 фунтов стерлингов на пенни выше, чем ранее рассчитанное значение, поскольку этот более быстрый метод включает только округление окончательного ответа, а не округление на каждом отдельном шаге.

С алгебраической точки зрения ОМ для ставки Янки определяется следующим образом:

OM = ( a + 1) ( b + 1) ( c + 1) ( d + 1) - 1 - ( a + b + c + d )

В те дни, когда программное обеспечение не стало доступным для использования букмекерами и теми, кто рассчитывал ставки в Лицензированных букмекерских конторах (LBO), этот метод был практически обязательным для экономии времени и избежания многократных повторяющихся вычислений, необходимых для расчета ставок с полным покрытием.

Расчет других типов выигрышных ставок [ править ]

Вверх и вниз

По-круговой

Раунд-Робин с 3 победителями рассчитывается как Трикси плюс три ставки вверх и вниз с 2 победителями в каждой.

Раунд Робин с 2 победителями рассчитывается как двойная плюс одна ставка вверх и вниз с 2 победителями плюс две ставки вверх и вниз по 1 победителю в каждой.

Раунд-Робин с 1 победителем рассчитывается как две ставки вверх и вниз с одним победителем в каждой.

Ставки Flag и Super Flag могут быть рассчитаны таким же образом, как указано выше, с использованием соответствующей полной ставки (при достаточном количестве победителей) вместе с требуемым количеством из 2 ставок «вверх» и «вниз» на победителя и 1 ставки на победителя.

Примечание. Специалисты по расчету ставок до появления программного обеспечения для расчета ставок всегда использовали метод алгебраического типа вместе с простым калькулятором для определения возврата по ставке (см. Ниже).

Алгебраическая интерпретация [ править ]

Если a , b , c , d ... представляют собой десятичные шансы , то есть (дробные шансы + 1), тогда ОМ 'множителя шансов' можно вычислить алгебраически, умножив выражения ( a + 1), ( b + 1) , ( c + 1) ... и т. д. вместе требуемым образом и добавляя или вычитая дополнительные компоненты. При необходимости (десятичный коэффициент + 1) можно заменить на (дробный коэффициент + 2). ^{[13] [14]}

Примеры [ править ]

См. Также [ править ]

• Прогнозы статистической ассоциации по футболу
• Глоссарий ставок, предлагаемых букмекерскими конторами Великобритании

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Кортис, Д. (2015). «Ожидаемые значения и разница в выплатах букмекеров: теоретический подход к установлению ограничений на шансы». Журнал предсказаний рынков. 1. 9.
• Сидней, К. (1976). Искусство леггинсов, Maxline International.
• Сидней, К. (2003). Искусство леггинсов: история, теория и практика букмекерства на английском газоне , 3-е издание, Rotex Publishing 2003, 224 стр. ISBN 978-1-872254-06-7  . Окончательное, тщательно переработанное и обновленное 3-е издание по истории, теории, практике и математике букмекерской конторы, а также математике ставок вне курса, ставкам, их расчетам и контролю ответственности .

Дальнейшее чтение [ править ]

• «В поисках края », Рон Лофтус , US-SC-North Charleston: Create Space., 2011, 144 стр.
• « Как сделать книгу », Фил Булл , Лондон: Morrison & Gibb Ltd., 1948, 160 стр.
• « Книга по букмекерству », Ферде Ромбола, Калифорния: Romford Press, 1984, 147pp. ISBN 978-0-935536-37-9 . 
• Искусство букмекерства , Малкольм Бойл, High Stakes Publishing, 2006.
• Секреты успешных ставок , Майкл Адамс, Raceform, 2002.
• Математика игр и азартных игр , Эдвард В. Пакел, Математическая ассоциация Америки , 2006.
• Математика азартных игр , Эдвард О. Торп, Л. Стюарт, 1984.
• «Максимин Хеджес», Жан-Клод Дердериан, журнал Mathematics , том 51, номер 3. (май 1978 г.), страницы 188–192.
• «Карнап и де Финетти о ставках и вероятности единичных событий: пересмотренный аргумент в голландской книге » Клаус Хейлиг, Британский журнал философии науки , том 29, номер 4. (декабрь, 1978), страницы 325–346.
• «Тесты эффективности ставок на ипподром с использованием букмекерских коэффициентов», Рон Берд, Майкл МакКрэй, Management Science , том 33, номер 12 (декабрь 1987 г.), страницы 152–156.
• «Почему на рынках ставок на британские ипподромы преобладает предвзятое отношение к фаворитам», - Лейтон Воан Уильямс, Дэвид Пэйтон. Экономический журнал , том 107, номер 440 (январь 1997 г.), страницы 150–158.
• Оптимальное определение коэффициентов ставок букмекеров: теория и тесты , Джон Финглтон и Патрик Уолдрон, Trinity Economic Paper Series, Technical Paper No. 96/9, Trinity College, University of Dublin , 1999.
• «Шансы, которые не складываются!», Майк Флетчер, Преподавание математики и ее приложений , 1994, том 13, номер 4, страницы 145–147.
• «Информация, цены и эффективность на рынке ставок с фиксированной ставкой», Питер Ф. Поуп, Дэвид А. Пил, Economica, New Series , том 56, номер 223 (август, 1989 г.), страницы 323–341.
• «Математический взгляд на азартные игры», Молли Максвелл, MIT Undergraduate Journal of Mathematics , том 1 (1999), страницы 123–132.
• « Руководство по вероятности азартных игр: математика игры в кости, слоты, рулетка, баккара, блэкджек, покер, лотерея и спортивные ставки », Каталин Барбояну, Инфаром, 2006, 316 стр. ISBN 973-87520-3-5 . 

Внешние ссылки [ править ]