В мысленном эксперименте, предложенном итальянским вероятностным аналитиком Бруно де Финетти для обоснования байесовской вероятности , набор ставок согласован именно в том случае, если он не подвергает участника определенному проигрышу независимо от результатов событий, на которые он делает ставки, даже если их противник делает наиболее разумный выбор.
Операционные субъективные вероятности как шансы на отыгрыш
Необходимо установить цену обещания заплатить 1 доллар, если Джон Смит победит на завтрашних выборах, и 0 долларов в противном случае. Каждый знает, что его оппонент сможет выбрать либо купить такое обещание у него по установленной им цене, либо потребовать от него купить такое обещание по той же цене. Другими словами: Игрок А устанавливает шансы, а Игрок Б решает, какую сторону ставки принять. Устанавливаемая цена - это «операционная субъективная вероятность», которую назначают предложению, на которое он делает ставку.
Если кто-то решит, что вероятность победы Джона Смита составляет 12,5% (произвольная оценка), тогда можно установить коэффициент 7: 1 против. Эта произвольная оценка - «операционная субъективная вероятность» - определяет выигрыш от успешной ставки. 1 доллар, поставленный с такими коэффициентами, приведет либо к проигрышу в 1 доллар (если Смит проиграет), либо к выигрышу в 7 долларов (в случае победы Смита). Если 1 доллар внесен в залог в качестве условия ставки, то 1 доллар также будет возвращен участнику пари, если он выиграет ставку.
Голландские книги
Говорят, что человек, который установил цены на множество ставок таким образом, что он или она получит чистую прибыль независимо от результата, сделал голландскую книгу . Когда у кого-то есть голландская книга, противник всегда проигрывает. Человек, устанавливающий цены таким образом, чтобы дать своему оппоненту голландскую книгу, ведет себя нерационально. Итак, следующие аргументы из голландской книги показывают, что рациональные агенты должны обладать субъективными вероятностями, которые подчиняются общим законам вероятности.
Очень банальная голландская книга
Правила не запрещают устанавливать цену выше 1 доллара, но благоразумный противник может продать одному дорогостоящий билет, так что противник выходит вперед независимо от исхода события, на которое сделана ставка. Правила также не запрещают отрицательную цену, но противник может получить от игрока, сделавшего ставку, обещание заплатить ему или ей позже в случае возникновения определенных непредвиденных обстоятельств. В любом случае ценообразователь проигрывает. Эти проигрышные ситуации параллельны тому факту, что вероятность не может ни превышать 1 (уверенность), ни быть меньше 0 (нет шансов на выигрыш).
Более поучительная голландская книга
Теперь предположим, что кто-то устанавливает цену обещания заплатить 1 доллар, если Boston Red Sox выиграет World Series в следующем году, а также цену обещания заплатить 1 доллар, если New York Yankees выиграют, и, наконец, цену обещания заплатить 1 доллар. если либо в Red Sox или янки выиграть. Можно установить цены таким образом, чтобы
Но если установить цену третьего билета ниже суммы первых двух, разумный оппонент купит этот билет и продаст два других билета установщику цены. Рассматривая три возможных исхода (Red Sox, Yankees, некоторая другая команда), можно заметить, что независимо от того, какой из трех исходов закончится, один проиграет. Аналогичная судьба ждет, если один из них установит цену третьего билета выше, чем сумма двух других цен. Это соответствует тому факту, что вероятности взаимоисключающих событий аддитивны (см. Аксиомы вероятности ).
Условные ставки и условные вероятности
А теперь представьте более сложный сценарий. Необходимо установить цены для трех обещаний:
- заплатить 1 доллар, если Red Sox выиграют завтрашнюю игру: покупатель этого обещания теряет свою ставку, если Red Sox не выиграет, независимо от того, вызвана ли его неудача проигрышем завершенной игры или отменой игры, и
- заплатить 1 доллар, если Red Sox выиграет, и возместить обещанную цену, если игра будет отменена, и
- заплатить 1 доллар, если игра завершена, независимо от того, кто выиграет.
Возможны три исхода: игра отменена; игра сыграна, и Red Sox проигрывают; игра сыграна и Red Sox выигрывает. Можно установить цены таким образом, чтобы
(где вторая цена выше - это цена ставки, которая включает возврат в случае отмены). (Примечание: цены здесь являются безразмерными числами, полученными путем деления на 1 доллар, который является выплатой во всех трех случаях.) Благоразумный оппонент записывает три линейных неравенства с тремя переменными. Переменные - это суммы, которые они вложат в каждое из трех обещаний; значение одного из них отрицательное, если они заставят установщика цены купить это обещание, и положительное, если они его купят. Каждое неравенство соответствует одному из трех возможных результатов. Каждое неравенство утверждает, что чистый выигрыш вашего оппонента больше нуля. Решение существует, если определитель матрицы не равен нулю. Этот детерминант:
Таким образом, благоразумный оппонент может сделать установщика цен верным проигравшим, если только он не установит цены таким образом, который соответствует простейшей традиционной характеристике условной вероятности .
Другой пример
В гонке Кентукки Дерби 2015 года фаворит («Американский фараон») получил анте-пост 5: 2, второй фаворит - 3: 1, а третий - 8: 1. Все остальные лошади имели коэффициент против 12: 1 или выше. С такими коэффициентами ставка по 10 долларов на каждого из 18 участников приведет к чистому проигрышу, если выиграет либо фаворит, либо второй фаворит.
Однако, если предположить, что ни одна лошадь с рейтингом 12: 1 или выше не выиграет, и он сделает ставку по 10 долларов на каждую из трех лучших, ему будет гарантирован хотя бы небольшой выигрыш. Фаворит (который действительно выиграл) приведет к выплате в размере 25 долларов плюс возвращенная ставка в размере 10 долларов, что даст конечный баланс в 35 долларов (чистое увеличение на 5 долларов). Победа второго фаворита принесет выплату в размере 30 долларов плюс исходная ставка в 10 долларов, что даст чистое увеличение на 10 долларов. Победа третьего фаворита дает 80 долларов плюс первоначальные 10 долларов, что дает чистый прирост на 60 долларов.
Такого рода стратегия, поскольку она касается только трех лучших, составляет голландскую книгу. Однако, если учесть все восемнадцать претендентов, то для этой гонки не существует голландской книги.
Согласованность
Можно показать, что набор цен является согласованным, если они удовлетворяют аксиомам вероятности и связанным с ними результатам, таким как принцип включения-исключения (но не обязательно счетной аддитивности).
Смотрите также
- Безарбитражная аналогичная концепция в математических финансах
- Байесовская эпистемология
- Разделяй и выбирай - процедура разрезания торта между двумя партнерами без зависти
Рекомендации
- Парень, Фрэнк (1996). Оперативные субъективные статистические методы: математическое, философское и историческое введение . Нью-Йорк: Вили . ISBN 0-471-14329-4.