В теории гаммы (музыки) максимально ровный набор (гамма) - это такой набор (гамма), в котором каждый общий интервал имеет один или два последовательных целых числа определенных интервала - другими словами, гамма, ноты (шт.) Которой «разложены насколько возможно». " Это свойство было впервые описано Джоном Клафом и Джеком Даутеттом. [1] Клаф и Даутетт также ввели максимально четный алгоритм. Для хроматической мощности гр и ПК-множество мощности D максимально даже множество является
где k изменяется от 0 до d - 1, а m , 0 ≤ m ≤ c - 1 фиксировано, а пара скобок является функцией пола . Обсуждение этих концепций можно найти в книге Тимоти Джонсона о математических основах теории диатонических шкал. [2] Джек Даутетт и Ричард Кранц ввели в математическую литературу максимально четные множества. [3] [4]
Говорят, что шкала обладает свойством Myhill, если каждый общий интервал имеет два определенных размера интервала , а шкала со свойством Myhill называется правильно сформированной шкалой . [5] диатоническая коллекция является как хорошо сформированным масштабом и максимально ровным. Шкала весь тон также максимально даже, но это не очень хорошо образован , так как каждый общий интервал приходит только один размер.
Максимальная четность второго порядка - это максимальная четность подколлекции более крупной коллекции, которая является максимально четной. Диатонические трезвучия и септаккорды обладают максимальной ровностью второго порядка, будучи максимально ровными в отношении максимально ровной диатонической гаммы, но не максимально ровны в отношении хроматической гаммы. (там же , с.115) Это вложенное качество напоминает Фред Лердал «s [6] „восстановительный формат“для тангажа пространства снизу вверх:
| C | E | грамм | C | |||||||||
| C | D | E | F | грамм | А | B | C | |||||
| C | D ♭ | D | E ♭ | E | F | F♯ | грамм | А ♭ | А | B ♭ | B | C |
- (Лердал, 1992)
В динамическом подходе были построены вращающиеся концентрические окружности и повторяющиеся максимально четные множества. Этот подход имеет значение в неориманновской теории и приводит к некоторым интересным связям между диатонической и хроматической теориями . [7] Эммануэль Амио открыл еще один способ определения максимально четных множеств с помощью дискретных преобразований Фурье . [8] [9]
Кэри, Норман и Клампит, Дэвид (1989). «Аспекты хорошо сформированных гамм», Music Theory Spectrum 11: 187–206.
Ссылки [ править ]
- ^ Клаф, Джон; Даутетт, Джек (1991). «Максимально ровные наборы». Журнал теории музыки (35): 93-173.
- ^ Джонсон, Тимоти (2003). Основы диатонической теории: математический подход к основам музыки . Key College Publishing. ISBN 1-930190-80-8.
- ^ Даутетт, Джек; Кранц, Ричард (2007). «Максимально равные множества и конфигурации: общие темы в математике, физике и музыке». Журнал комбинаторной оптимизации . 14 : 385-410.
- ^ Даутетт, Джек; Кранц, Ричард (2007). «Обеденные столы и концентрические круги: гармония математики, музыки и физики». Журнал математики колледжа . 39 (3): 203-211.
- ^ Кэри, Норман; Клампитт, Дэвид (1989). «Аспекты хорошо сформированных чешуек». Теория музыки Спектр . 11 : 187-206.
- ^ Lerdahl, Фред (1992). «Когнитивные ограничения композиционных систем». Обзор современной музыки . 6 (2): 97-121.
- ^ Douthett, Джек (2008). «Симметрия точки фильтра и динамическое ведение голоса». Музыка и математика: аккорды, сборники и трансформации . Истмен Исследования в области музыки: 72-106. Эд. Дж. Даутетт, М. Хайд и К. Смит. Университет Рочестер-Пресс, штат Нью-Йорк. ISBN 1-58046-266-9 .
- ^ Армиот, Эммануэль (2007). «Дэвид Левин и максимально ровные сеты». Журнал математики и музыки . 1 (3): 157-172.
- ^ Армиот, Эммануэль (2016). Музыка через пространство Фурье: дискретное преобразование Фурье в теории музыки . Springer. ISBN 9783319455808.
